【方法指导】导数在函数极值方面的误区VIP免费

金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com导数在函数极值方面的误区ⅰ.将“稳定点”等同于“极值点”定义1：可导函数)(xf的方程0)(/xf的根))((/000xfx，称为函数)(xf的稳定点。定义2：设函数)(xf在区间D有定义，若Dx0，且存在0x的某邻域DxU)(0，)(0xUx，有))()()(()(00xfxfxfxf，则称0x是函数)(xf的极大点（极小点），)(0xf是函数)(xf的极大值（极小值）。极大点和极小点统称为极值点；极大值和极小值统称为极值。对于“00)(/xf”只是它为“函数)(xf的极值点”的必要而不充分条件。即函数)(xf的极值点必然在函数)(xf的稳定点的集合之中，反之，不成立，即稳定点不一定是极值点。例3中的函数3xy，它在R上可导，由方程032xy/，解得唯一稳定点0，从图像上看，显然点0不是可导函数3xy的极值点。例6.函数1132)()(xxf的极值点是┈┈┈┈┈┈┈┈（）001111DxCxBxxA或或错解：导函数2216)()(/xxxf，令01622)()(/xxxf，解得01xx和,，故答案应选C。剖析：这三点都是稳定点，那是不是极值点？存在极值点条件：导函数)(/xf在稳定点0x的两侧有不同的符号，0x必是函数)(xf的极值点。显然导函数)(/xf第1页共3页金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com在0x两侧有相同的符号，0x不是函数的极值点。正解：由011622)()()(/xxxxf知，当),(1x时，0)(/xf，当),(01x时，0)(/xf；当),(10x时，0)(/xf，当),(1x时，0)(/xf，故)(xf在),(),,(011上是单调递增函数；)(xf在),(),,(110上是单调递减函数因此，只有0x为极小值点，而1x和1x不是极值点（实际上是函数)(xf的拐点），故应选D。例7.函数223abxaxxxf)(，当1x时，有极值10，那么ba的值为。误解：导函数baxxxf232)(/，因为函数)(xf在1x处有极值10，可得1010232ababa，解得33ba或114ba因此0ba或7ba。剖析：上述解题忽略了一个细节，解题过程中只用到01)(/f，和101)(f，这能说明它是极值点吗？当3a、3b时，,)()(/01336322xxxxf函数)(xf在R上是增函数，显然1x不是函数)(xf的极值点；验证当4a、11b时，1x是函数的极值点。故7ba。ⅱ.误把极值当最值例8.求函数5933xxxf)(在区间],[22上的最值。误解：导函数0992xxf)(/，解得11x，或12x，经验证11x，和第2页共3页金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com12x都是函数)(xf的极值点，即11)(f为极大值，71)(f为极小值，因此函数)(xf的最大值为1，最小值为7。剖析：本题是误把“极值”当成“最值”所导致的错误。对于上面所给出的定义可知，极值是一个局部概念，是函数在某一点的小领域内的最值；而最值是整体概念，是在整个闭区间上的最值。在一个区间上可能有很多极大值（极小值）而且某些极大值还可能小于某些极小值，但只能有一个最大值（如果存在最大值）和一个最小值（如果存在最小值）。因此求函数闭区间上的最值，需要将函数的一切极值与其端点值进行比较才能确定。本题两端点值11212)(,)(ff，所以函数的最大值为11，最小值为1。ⅲ.把极值点的取值范围扩大例9.函数12mxxxf)(在区间],[12上的极大值就是最大值，则m的取值范围。误解：导函数mxxf2)(/，令02mxxf)(/，解得2mx，经验证2mx是函数)(xf的极值点，所以122m，解得24m，故m的取值范围是],[24。剖析：定义2，即极值定义，不难发现极值点在区间D的内部（即不能是区间D的端点），)(0xf是函数)(xf的极值是与函数)(xf在0x的某个领域上的函数值)(xf比较而言。因此2mx是函数)(xf的极大值点，有题意得，122m，解得24m，故m的取值范围是),(24。第3页共3页金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com