利用空间向量求空间角与距离1.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题.2.了解向量方法在研究立体几何问题中的应用.1.利用直线的方向向量和平面的法向量求空间角与距离是高考的热点，尤其是用向量法求平面与平面的夹角和点到平面的距离；2.本节的重点是利用向量法求空间角，难点是正确地进行计算3.高考对本节的考查多以解答题的形式出现，综合考查空间想象能力、运算能力及数形结合思想.1.夹角的计算(1)直线间的夹角①两直线的夹角当两条直线l1与l2共面时，我们把两条直线交角中,范围在_________内的角叫作两直线的夹角.［0,］2②异面直线的夹角当直线l1与l2是异面直线时，在直线l1上任取一点A作AB∥l2，我们把_______________的夹角叫作异面直线l1与l2的夹角.设s1，s2分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则直线l1和直线ABl1与l2的夹角θ范围求法关系与的夹角〈,〉1212ssss02120〈，〉＜sscoscos｜〈，〉｜12ss｜｜｜｜1212sssscos〈，〉12ss0s,,2当〈〉时2s1,s;〈〉1s2,2当〈〉＜时，12ss,〈〉12ss｜｜｜｜1212ssss(2)直线与平面的夹角平面外一条直线与它_________________的夹角叫作该直线与此平面的夹角.设直线l的方向向量为s，平面π的法向量为n，直线l与平面π的夹角为θ,则sinθ=｜cos〈s，n〉｜=_________.在该平面内的投影｜｜｜｜｜｜snsn(3)平面间的夹角如图所示，平面π1与π2相交于直线l，点R为直线l上任意一点，过点R，在平面π1上作直线l1⊥l,在平面π2上作直线l2⊥l，则l1∩l2=R.我们把_______________叫作平面π1与π2的夹角.直线l1和l2的夹角已知平面π1和π2的法向量分别为n1和n2，当0≤〈n1，n2〉≤时，平面π1与π2的夹角等于________;当＜〈n1，n2〉≤π时，平面π1与π2的夹角等于______________.2〈n1，n2〉π-〈n1，n2〉2(1)长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AA1=2，AD=1，E为CC1的中点，则异面直线BC1与AE夹角的余弦值为______.2.距离的计算(1)点到直线的距离空间一点A到直线l的距离的算法框图为：在直线l上任取一点P确定直线l的方向向量s计算向量PA�计算在向量上的投影PA�sPA�s计算点A到直线l的距离d=22PAPA�s(2)平行直线间的距离求平行直线间的距离通常转化为求________________.(3)点到平面的距离空间一点A到平面π的距离的算法框图为：点到直线的距离在平面π上任取一点P找到平面π的法向量n计算向量PA�计算在向量上的投影PA�nPA�0n计算点A到平面π的距离d=PA�0n【即时应用】(1)思考：如何求线面距离与面面距离？提示：求这两种距离，通常都转化为求点到平面的距离.(2)思考：如何推导点到平面的距离公式？提示：如图,点A到平面α的距离就是向量在平面α的法向量n上投影的绝对值,即d=||sin∠ABO=｜||cos〈,n〉｜=利用该公式求点到平面的距离简便易行.AB�AB�AB�AB�ABABAB.AB���｜｜｜｜｜｜｜｜｜｜｜｜nnnn(3)已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A1到截面AB1D1的距离是_____.用空间向量求空间角【方法点睛】1.两异面直线夹角的求法利用空间向量求异面直线的夹角可利用直线的方向向量转化成向量的夹角.2.利用向量求直线与平面夹角的方法(1)分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量,转化为求两个方向向量的夹角(或其补角);(2)通过平面的法向量来求,即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角,取其余角就是斜线和平面的夹角.3.求平面与平面夹角的常用方法(1)分别求出两个平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到平面与平面夹角的大小.(2)分别在两个平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量,则这两个向量的夹角(或其补角)的大小就是平面与平面夹角的大小.【例1】(1)(2012•合肥模拟)已知正方体ABCD-A1B1C1D1，则直线BC1与平面A1BD夹角的余弦值是()(A)(B)(C)(D)24233332(2)(2012·天津模拟)如图，在五面体ABCDEF中，FA⊥平面ABCD,AD∥BC∥FE，AB⊥AD，M为EC的中点，AF=AB=BC=FE=①求异面直线BF与DE夹角的大小；②证明：平面AMD⊥平面CDE；③求平面ABCD与平面CDE夹角的余弦值.1...
