《三维设计》高三数学 第3章 第5节 课时限时检测 新人教A版VIP免费

第3章第5节(时间60分钟，满分80分)一、选择题(共6个小题，每小题5分，满分30分)1．在△ABC中，已知sin(A－B)cosB＋cos(A－B)sinB≥1，则△ABC是()A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．等边三角形解析：sin(A－B)cosB＋cos(A－B)sinB＝sin[(A－B)＋B]＝sinA≥1，又sinA≤1，∴sinA＝1，A＝90°，故△ABC为直角三角形．答案：A2．已知sin2α＝－，α∈，则sinα＋cosα＝()A．－B.C．－D.解析：由(sinα＋cosα)2＝1＋2sinαcosα＝1＋sin2α＝1－＝，又∵α∈，∴sinα＋cosα>0，∴sinα＋cosα＝.答案：B3．sin(65°－x)cos(x－20°)＋cos(65°－x)cos(110°－x)的值为()A.B.C.D.解析：原式＝sin(65°－x)cos(x－20°)＋cos(65°－x)·cos[90°－(x－20°)]＝sin(65°－x)cos(x－20°)＋cos(65°－x)sin(x－20°)＝sin[(65°－x)＋(x－20°)]＝sin45°＝.答案：B4．若点P(cosα，sinα)在直线y＝－2x上，则sin2α＋2cos2α的值是()A．－B．－C．－2D.解析：∵点P在y＝－2x上，∴sinα＝－2cosα，∴sin2α＋2cos2α＝2sinαcosα＋2(2cos2α－1)＝－4cos2α＋4cos2α－2＝－2.答案：C5．若tanα＝lg(10a)，tanβ＝lg，且α＋β＝，则实数a的值为()A．1B.C．1或D．1或10解析：tan(α＋β)＝1⇒＝＝1⇒lg2a＋lga＝0，所以lga＝0或lga＝－1，即a＝1或.答案：C6.的值是()A.B.C.D.解析：原式＝＝＝＝.答案：C二、填空题(共3小题，每小题5分，满分15分)7．已知α、β均为锐角，且cos(α＋β)＝sin(α－β)，则角α＝________.解析：依题意有cosαcosβ－sinαsinβ＝sinαcosβ－cosαsinβ，即cosα(cosβ＋sinβ)＝sinα(sinβ＋cosβ)．∵α、β均为锐角，∴sinβ＋cosβ≠0，必有cosα＝sinα，∴α＝.答案：8．若tan(－θ)＝3，则＝________.解析：∵tan(－θ)＝＝3，∴tanθ＝－.∴＝＝＝＝3.答案：39．设f(x)＝＋sinx＋a2sin(x＋)的最大值为＋3，则常数a＝________.解析：f(x)＝＋sinx＋a2sin(x＋)＝cosx＋sinx＋a2sin(x＋)＝sin(x＋)＋a2sin(x＋)＝(＋a2)sin(x＋)．依题意有＋a2＝＋3，∴a＝±.答案：±三、解答题(共3小题，满分35分)10．已知α为锐角，且tan＝2.(1)求tanα的值；(2)求的值．解：(1)tan＝，所以＝2，1＋tanα＝2－2tanα，所以tanα＝.(2)＝＝＝＝sinα.因为tanα＝，所以cosα＝3sinα，又sin2α＋cos2α＝1，所以sin2α＝，又α为锐角，所以sinα＝，所以＝.11．已知sinα＋cosα＝，α∈(0，)，sin(β－)＝，β∈(，)．(1)求sin2α和tan2α的值；(2)求cos(α＋2β)的值．解：(1)由题意得(sinα＋cosα)2＝，即1＋sin2α＝，∴sin2α＝.又2α∈(0，)，∴cos2α＝＝，∴tan2α＝＝.(2)∵β∈(，)，β－∈(0，)，∴cos(β－)＝，于是sin2(β－)＝2sin(β－)cos(β－)＝.又sin2(β－)＝－cos2β，∴cos2β＝－.又2β∈(，π)，∴sin2β＝.又cos2α＝＝，∴cosα＝，sinα＝(α∈(0，))．∴cos(α＋2β)＝cosαcos2β－sinαsin2β＝×(－)－×＝－.12．(·天津高考)已知函数f(x)＝2sinxcosx＋2cos2x－1(x∈R)．(1)求函数f(x)的最小正周期及在区间[0，]上的最大值和最小值；(2)若f(x0)＝，x0∈[，]，求cos2x0的值．解：(1)由f(x)＝2sinxcosx＋2cos2x－1，得f(x)＝(2sinxcosx)＋(2cos2x－1)＝sin2x＋cos2x＝2sin(2x＋)．所以函数f(x)的最小正周期为π.因为f(x)＝2sin(2x＋)在区间[0，]上为增函数，在区间[，]上为减函数，又f(0)＝1，f()＝2，f()＝－1，所以函数f(x)在区间[0，]上的最大值为2，最小值为－1.(2)由(1)可知f(x0)＝2sin(2x0＋)．又因为f(x0)＝，所以sin(2x0＋)＝.由x0∈[，]，得2x0＋∈[，]．从而cos(2x0＋)＝－＝－.所以cos2x0＝cos[(2x0＋)－]＝cos(2x0＋)cos＋sin(2x0＋)sin＝.