第3章第8节(时间60分钟,满分80分)一、选择题(共6个小题,每小题5分,满分30分)1.如果在测量中,某渠道斜坡坡比为,设α为坡角,那么cosα等于()A.B.C.D.答案:B2.如图,设A、B两点在河的两岸,一测量者在A的同侧,在所在的河岸边选定一点C,测出AC的距离为50m,∠ACB=45°,∠CAB=105°后,就可以计算出A、B两点的距离为()A.50mB.50mC.25mD.m解析:由正弦定理得=,∴AB===50(m).答案:A3.(·江西高考)E,F是等腰直角△ABC斜边AB上的三等分点,则tan∠ECF=()A.B.C.D.解析:设AC=1,则AE=EF=FB=AB=,由余弦定理得CE=CF==,所以cos∠ECF==,所以tan∠ECF===.答案:D4.如果把直角三角形的三边都增加同样的长度,则这个新的三角形的形状为()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.由增加的长度决定解析:设增加同样的长度为x,原三边长为a、b、c,且c2=a2+b2,a+b>c.新的三角形的三边长为a+x、b+x、c+x,知c+x为最大边,其对应角最大.而(a+x)2+(b+x)2-(c+x)2=x2+2(a+b-c)x>0,由余弦定理知新的三角形的最大角的余弦为正,则为锐角,那么它为锐角三角形.答案:A5.某人在C点测得某塔在南偏西80°,塔顶仰角为45°,此人沿南偏东40°方向前进10米到D,测得塔顶A的仰角为30°,则塔高为()A.15米B.5米C.10米D.12米解析:如图,设塔高为h,在Rt△AOC中,∠ACO=45°,则OC=OA=h在Rt△AOD中,∠ADO=30°,则OD=h,在△OCD中,∠OCD=120°,CD=10,由余弦定理得:OD2=OC2+CD2-2OC·CDcos∠OCD,即(h)2=h2+102-2h×10×cos120°,∴h2-5h-50=0,解得h=10,或h=-5(舍).答案:C6.一船向正北航行,看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上,继续航行半小时后,看见一灯塔在船的南偏西60°方向,另一灯塔在船的南偏西75°方向,则这只船的速度是每小时()A.5海里B.5海里C.10海里D.10海里解析:如图,依题意有∠BAC=60°,∠BAD=75°,所以∠CAD=∠CDA=15°,从而CD=CA=10,在直角三角形ABC中,可得AB=5,于是这只船的速度是=10(海里/小时).答案:C二、填空题(共3小题,每小题5分,满分15分)7.在直径为30m的圆形广场中央上空,设置一个照明光源,射向地面的光呈圆形,且其轴截面顶角为120°,若要光源恰好照亮整个广场,则光源的高度为________m.解析:轴截面如图,则光源高度h==5(m).答案:58.如图,在坡度为15°的观礼台上,某一列座位与旗杆在同一个垂直于地面的平面上,在该列的第一排和最后一排测得旗杆顶端的仰角分别为60°和30°,且第一排和最后一排的距离为10米,则旗杆的高度为________米.解析:设旗杆高为h米,最后一排为点A,第一排为点B,旗杆顶端为点C,则BC==h.在△ABC中,AB=10,∠CAB=45°,∠ABC=105°,所以∠ACB=30°,由正弦定理得,=,故h=30.答案:309.地上画了一个角∠BDA=60°,某人从角的顶点D出发,沿角的一边DA行走10米后,拐弯往另一方向行走14米正好到达∠BDA的另一边BD上的一点,我们将该点记为点B,则B与D之间的距离为________米.解析:如图,设BD=xm,则142=102+x2-2×10×xcos60°,∴x2-10x-96=0,∴(x-16)(x+6)=0,∴x=16或x=-6(舍).答案:16三、解答题(共3小题,满分35分)10.如图,位于A处的信息中心获悉:在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险,在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船,现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援,求cosθ的值.解:如题中图所示,在△ABC中,AB=40,AC=20,∠BAC=120°,由余弦定理知,BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos120°=2800⇒BC=20.由正弦定理得,=⇒sin∠ACB=sin∠BAC=.由∠BAC=120°,知∠ACB为锐角,则cos∠ACB=.由θ=∠ACB+30°,得cosθ=cos(∠ACB+30°)=cos∠ACBcos30°-sin∠ACBsin30°=.11.以40km/h向北偏东30°航行的科学探测船上释放了一个探测气球,气球顺风向正东飘去,3分钟后气球上升到1000米处,从探测船上观察气球,仰角为30°,求气球的水平飘移速度.解:如图,船从A航行到C处,气球飘到D...