第5章第4节(时间60分钟，满分80分)一、选择题(共6个小题，每小题5分，满分30分)1．已知数列{an}的前n项和Sn＝an2＋bn(a、b∈R)，且S25＝100，则a12＋a14等于()A．16B．8C．4D．不确定解析：由数列{an}的前n项和Sn＝an2＋bn(a、b∈R)，可得数列{an}是等差数列，S25＝＝100，解得a1＋a25＝8，所以a1＋a25＝a12＋a14＝8.答案：B2．数列{an}的通项公式an＝，若前n项的和为10，则项数为()A．11B．99C．120D．121解析： an＝＝－，∴Sn＝－1＝10，∴n＝120.答案：C3．1－4＋9－16…＋＋(－1)n＋1n2等于()A.B．－C．(－1)n＋1D．以上答案均不对解析：对n赋值验证，只有C正确．答案：C4．已知函数f(x)＝x2＋bx的图象在点A(1，f(1))处的切线的斜率为3，数列{}的前n项和为Sn，则S2010的值为()A.B.C.D.解析： f′(x)＝2x＋b，∴f′(1)＝2＋b＝3，∴b＝1，∴f(x)＝x2＋x，∴＝＝－，∴S2010＝1…－＋－＋＋－＝1－＝.答案：D5．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－6n，则{|an|}的前n项和Tn＝()A．6n－n2B．n2－6n＋18C.D.解析：由Sn＝n2－6n得{an}是等差数列，且首项为－5，公差为2.∴an＝－5＋(n－1)×2＝2n－7，∴n≤3时，an＜0，n＞3时an＞0，∴Tn＝.答案：C6．设数列{an}是首项为1公比为3的等比数列，把{an}中的每一项都减去2后，得到一个新数列{bn}，{bn}的前n项和为Sn，对任意的n∈N*，下列结论正确的是()A．bn＋1＝3bn，且Sn＝(3n－1)B．bn＋1＝3bn－2，且Sn＝(3n－1)C．bn＋1＝3bn＋4，且Sn＝(3n－1)－2nD．bn＋1＝3bn－4，且Sn＝(3n－1)－2n解析：因为数列{an}是首项为1公比为3的等比数列，所以数列{an}的通项公式an＝3n－1，则依题意得，数列{bn}的通项公式为bn＝3n－1－2，∴bn＋1＝3n－2,3bn＝3(3n－1－2)＝3n－6，∴bn＋1＝3bn＋4.{bn}的前n项和为：Sn＝(1－2)＋(31－2)＋(32－2)＋(33－2)…＋＋(3n－1－2)＝(1＋31＋32＋33…＋＋3n－1)－2n＝－2n＝(3n－1)－2n.答案：C二、填空题(共3个小题，每小题5分，满分15分)7．已知数列{an}………：，＋，＋＋，，＋＋＋＋，，那么数列{bn}＝{}的前n项和Sn＝________.解析：由已知条件可得数列{an}的通项公式为an＝＝，∴bn＝＝＝4(－)．Sn＝4(1…－＋－＋＋－)＝4(1－)＝.答案：8．对于数列{an}，定义数列{an＋1－an}为数列{an}“”的差数列，若a1＝2，{an}“的差数”列的通项为2n，则数列{an}的前n项和Sn＝________.解析： an＋1－an＝2n，∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)…＋＋(a2－a1)＋a1＝2n－1＋2n－2…＋＋22＋2＋2＝＋2＝2n－2＋2＝2n.∴Sn＝＝2n＋1－2.答案：2n＋1－29．数列{an}的前n项和为Sn且a1＝1，an＋1＝3Sn(n＝1,2,3…，)，则log4S10＝________.解析： an＋1＝3Sn，∴an＝3Sn－1(n≥2)．两式相减得an＋1－an＝3(Sn－Sn－1)＝3an，∴an＋1＝4an，即＝4.∴{an}为a2为首项，公比为4的等比数列．当n＝1时，a2＝3S1＝3，∴n≥2时，an＝3·4n－2，S10＝a1＋a2…＋＋a10＝1＋3＋3×4＋3×42…＋＋3×48＝1＋3(1＋4…＋＋48)＝1＋3×＝1＋49－1＝49.∴log4S10＝log449＝9.答案：9三、解答题(共3个小题，满分35分)10．等差数列{an}是递增数列，前n项和为Sn，且a1，a3，a9成等比数列，S5＝a.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{bn}满足bn＝，求数列{bn}的前99项的和．解：(1)设数列{an}的公差为d(d>0)， a1，a3，a9成等比数列，∴a＝a1a9，∴(a1＋2d)2＝a1(a1＋8d)，∴d2＝a1d， d>0，∴a1＝d，① S5＝a，∴5a1＋·d＝(a1＋4d)2②由①②得a1＝，d＝，∴an＝＋(n－1)×＝n(n∈N*)．(2)bn＝＝·＝(1＋－)，∴b1＋b2＋b3…＋＋b99＝(1＋1－＋1＋－＋1…＋－＋＋1＋－)＝(99＋1－)＝275＋2.75＝277.75.11．已知数列{an}的前n项和Sn和通项an满足Sn＝(1－an)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{bn}满足bn＝nan，求证：b1＋b2…＋＋bn<.解：(1)当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(1－an)－(1－an－1)＝－an＋an－1，2an＝－an＋an－1∴由题意可知an－1≠0，＝，所以{an}是公比为的等比数列．S1＝a1＝(1－a1)，a1＝.an＝×n－1＝n.(2)证明：bn＝nn，设Tn＝1×1＋2×2＋3×3…＋＋n×n，①∴Tn＝1×2＋2×3＋3×4…＋＋n×n＋1，②①－②，...
