第九章 变分法VIP专享VIP免费

第九章变分法变分法是处理有相互作用的多粒子体系的不含时间的薛定谔方程所需要的近似方法，它能使我们不用求解薛定谔方程，就能得到体系基态能量的近似。)1(ˆ0*EdHE0是哈密顿算符的最低能量本征值的真实数值，该定理的意义就在于它能使我们计算基态能量的上限。给定一个体系的哈密顿算符，如果是任何一个满足此问题边界条件的归一化品优函数，则存在：证明：定义积分I为：0**0*0*ˆˆ)ˆ(EdHdEdHdEHI由于是归一化的，若能证明I≥0，变分原理即可得证。9.1变分原理值：的真实本征函数和本征是和令HˆEiiiiiEHˆkkka由于本征函数i组成一个完备集，可用i将展开（必须和i一样满足同样的边界条件）。将上式代入积分I，得：daEHadaEHaIjjkkkkjjjkkk)ˆ()ˆ(0**0**序，有：与无穷求和可以交换顺的本征方程并假定积分利用HˆdEEaadEEaaIjkkjjjkjjkjjkk*0*0**)()(用本征函数的正交归一性给出：kjkjjjkEEaaI)(0*对j求和，克罗内克因子除了j=k一项外，所有的项都为零，给出：)(||)(020*EEaEEaaIkkkkkkk按假设，E0是最低的本征值，故Ek-E0≥0；又|ak|2≥0，所以上式右端求和中的所有项都是非负的，即I≥0，得证。如果未归一化，应用变分定理时，要乘以归一化常数N，代入变分原理公式，有：0*2ˆ||EdHN根据归一化条件：1||)(*2*dNdNNdN*/1||2故更一般的变分原理为：)2(ˆ0**EddH（为满足问题边界条件的任一品优函数）：尝试变分函数，积分：变分积分。为得到基态能量的一个好的近似，可用许多尝试变分函数来试验以寻求给出变分积分值最低的一个。变分积分数值越低，得到E0的近似越好。要反驳量子力学的一个方法是去找一个尝试变分函数，它能使体系的变分积分小于E0（实验值或来自薛定谔方程的准确解）。令0是真实的基态波函数：000ˆEH如果有幸选择的尝试变分函数就是0，则基态波函数给出变分积分的极小值，即E0。积分变分的数值越低，尝试变分函数就越接近于真实的基态波函数。实际情况是，变分积分趋近E0比尝试变分函数趋近0要快得多。因而就有可能用一个较差的得到一个较好的E0近似。通常的做法是在尝试函数中引入几个参数，然后改变这些参数使变分积分为极小，关键在于尝试函数选择的好坏。例利用变分法求长度为l的一维箱中粒子的基态能量的上限一维势箱中，波函数在箱外为零，其边界条件要求在x=0和x=l处，=0。尝试变分函数必须满足这些边界条件。满足这些条件的一个简单的函数就是抛物线函数：)0()(lxxlx由于未归一化，所以利用变分原理（2），在箱内哈密顿算符为：222/)2/(dxdmmldxlxxmdxxlxdxdxlxmdHll6)()()(2ˆ32022022222*lldxxlxd0522*30)(代入变分公式（2），得：022245EmlhE0的实际计算值为：h2/8ml2，误差为：%3.1%1008/1)8/1()4/5(2例利用变分法求一维谐振子的基态能量的上限（在尝试变分函数中引入参数）要求：当x趋于时，波函数趋于零。由于V(x)为偶函数，波函数必须具有一定的宇称。e-x2在时都有合适的行为，但从量纲的观点来看是不能令人满意的，由于ex的Taylor级数展开为：...!21!20xxnxennx所有右端的项必须具有相同的量纲，所以x必须和1具有相同的量纲，即x是无量纲的。/2vm：定义的单位为：1/(长度)2，所以x2是无量纲的。这使人想到e-x2形式的尝试函数。但是一常数，不是一个可变参量。为利用一参数将尝试函数中引进一定的灵活性，可将指数函数乘以含有x的幂的项，如(1+bx)e-x2，b为一个参数。但此函数不具有一定的宇称。为使尝试函数具有一定的宇称，可以尝试：2)1(2xexc其中c为参数，把因子放进去乘cx2，使得c无量纲。由于尝试变分函数具有偶宇称，则：)16321()2()21(2*22/12042222ccadxexcxcdxx)(2ˆ22222xdx...