第三章：3.4曲线凹凸性VIP免费

机动目录上页下页返回结束第四节一、曲线的凹凸性与拐点机动目录上页下页返回结束二、曲线的渐近线曲线的凹凸性与拐点第三章函数作图三、函数作图机动目录上页下页返回结束问题:如何研究曲线的弯曲方向?一、曲线的凹凸性与拐点yOxAaCb0x如图所示曲线弧,在区间(a,b)内虽然一直上升,但却有不同的弯曲状况.弧是向上凹的,曲线在切线的上方,弧是向上凸的,曲线在切线的下方,而B是弯曲状况的分界点.机动目录上页下页返回结束定义1在区间(a,b)内,连续曲线如果曲线弧位于其任意一点切线的上方,则称曲线弧在(a,b)内是凹的(或凹弧),此区间(a,b)称为凹区间;如果曲线弧位于其任意一点切线的下方,则称曲线弧此区间(a,b)称为凸区间;AByoxab0x在(a,b)内是凸的(或凸弧),定义2y=f(x)上凹弧与凸弧的分界点,称为曲线y=f(x)的拐点.机动目录上页下页返回结束定理2.(曲线凹凸性的判定定理)(1)若在(a,b)内则曲线y=f(x)在(a,b)内是凹的;(2)若在(a,b)内设函数在区间(a,b)内有二阶导数,那么一阶导数判单调二阶导数定凸凹若定理设函数则在(a,b)内单调递增,)0)((xf(递减).在开区间(a,b)内可导,回顾前面所学即则曲线y=f(x)在(a,b)内是凸的.机动目录上页下页返回结束例1.判定曲线的凹凸性.解:1,yx故曲线在内是凸的.例2.判定曲线在(0,2π)内的凹凸性.解:cos,yx令得当时，曲线是凸的；当时，曲线是凹的.xyOlnyxxyOsinyx2点是曲线的一个拐点.机动目录上页下页返回结束例3.判断曲线的凹凸性.解:,43xy故曲线在上是向上凹的.说明:1)若在某点二阶导数为0,2)根据拐点的定义及上述定理,可得求拐点的步骤如下:则曲线的凹凸性不变.在其两侧二阶导数不变号,xyo机动目录上页下页返回结束求拐点的步骤如下:(1)确定函数y=f(x)的定义域;(2)求出使的点和不存在的点;(3)对于(2)中求出的每个点x0,考察在点x0左、右两侧邻近的符号,如果两侧的符号相反,则点是拐点;如果两侧的符号相同,则点不是拐点.机动目录上页下页返回结束例4.求曲线的凹、凸区间与拐点.解定义域：23510(2),39yxxxyy(,2)(3,)不存在209因此,曲线的拐点：凹区间:凹凸(,),3310(12).92xyx令0,y得x=3,不存在的点为x=2,y2(2,3)凸30－420(2,),9(3,4);(2,3)凹区间:凸区间:(,2],[3,).列表机动目录上页下页返回结束内容小结1.可导函数单调性判别Ixxf,0)(在I上单调递增Ixxf,0)(在I上单调递减2.曲线凹凸与拐点的判别Ixxf,0)(Ixxf,0)(+–拐点—连续曲线上的凹凸分界点机动目录上页下页返回结束.),(21)1,(2121e1.曲线21xey的凹区间是凸区间是拐点为提示:)21(222xeyx),(2121),(21及作业P128：第一题;;思考与练习机动目录上页下页返回结束无渐近线.点M与某一直线L的距离趋于0,二、曲线的渐近线定义3若曲线y=f(x)上的动点M沿着曲线无限远离坐标原点时,则称直线L为曲线y=f(x)的渐近线.例如,双曲线有渐近线0byax但抛物线NLbxkyMxyoC)(xfyPxyo渐近线分为水平渐近线、铅直渐近线和斜渐近线三种.机动目录上页下页返回结束定义4(1)若则称直线y=b为曲线y=f(x)的一条水平渐近线.(2)若则称直线x=x0为曲线y=f(x)的一条铅直渐近线.(3)若()axb则称直线y=ax+b为曲线y=f(x)的一条斜渐近线.()lim,xfxaxlim[()].xbfxax并由此可推得机动目录上页下页返回结束例5.求曲线的渐近线.解:2)211(limxx2y为水平渐近线;,)211(lim1xx1x为铅直渐近线.21该曲线无斜渐近线.机动目录上页下页返回结束例6.求曲线的渐近线.解:0lim,xy所以该曲线有铅直渐近线0x又因()limxfxax1limxxxxlim[()]xbfxax1limxxxxyx为曲线的斜渐近线.lim,xy所以该曲线没有水平渐近线.机动目录上页下页返回结束一阶导数判单调二阶导数定凸凹三、函数作图步骤:1.确定函数的定义域,期性等特性;2.求并求出及3.列表判别单调及凹凸区间,求出极值和拐点;4.求渐近线;5.补充函数图形上的若干特殊点为0和不存在的点;并考察其奇偶性、周找出f(x)的间断...