ABCDP届高三理科数学第二轮复习资料——《立体几何》专题1．如图正方体中，E、F分别为D1C1和B1C1的中点，P、Q分别为A1C1与EF、AC与BD的交点，（1）求证：D、B、F、E四点共面；（2）若A1C与面DBFE交于点R，求证：P、Q、R三点共线奎屯王新敞新疆2．已知直线、异面,平面过且平行于,平面过且平行于,求证:∥．3.如图所示的多面体是由底面为的长方体被截面所截而得，其中，,,若如图所示建立空间直角坐标系．①求和点的坐标；②求异面直线与所成的角；③求点C到截面的距离．4.如图，三棱锥P—ABC中，PC平面ABC，PC=AC=2，AB=BC，D是PB上一点，且CD平面PAB．(I)求证：AB平面PCB；(II)求异面直线AP与BC所成角的大小；（III）求二面角C-PA-B的余弦值．5.如图，直二面角D—AB—E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE=EB，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE.(1)求证AE⊥平面BCE；(2)求二面角B—AC—E的余弦值．6.已知正三棱柱的底面边长为2，点M在侧棱上.（Ⅰ）若P为AC的中点，M为BB1的中点，求证BP//平面AMC1；（Ⅱ）若AM与平面所成角为，试求BM的长.PQFED1C1B1A1DCBAFECByZxGDA7.如图，在底面是矩形的四棱锥P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝1，BC＝2．（1）求证：平面PDC⊥平面PAD；（2）若E是PD的中点，求异面直线AE与PC所成角的余弦值；8.已知：在正三棱柱ABC—A1B1C1中，AB=a，AA1=2a.D是侧棱BB1的中点.求证：（Ⅰ）求证：平面ADC1⊥平面ACC1A1；（Ⅱ）求平面ADC1与平面ABC所成二面角的余弦值．9.已知直四棱柱的底面是菱形，且，为棱的中点，为线段的中点．（Ⅰ）求证：直线平面；（Ⅱ）求证：直线平面；（Ⅲ）求平面与平面所成二面角的大小10.棱长是1的正方体，P、Q分别是棱AB、CC1上的内分点，满足.（1）求证：A1P⊥平面AQD；（2）求直线PQ与平面AQD所成角的正弦值.PABCDEQPD1C1A1B1DCAB11.如图,长方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是线段B1D1、A1B上的点，且D1E=2EB1,BF=2FA1．（1）求证:EF∥AC1；（2）若EF是两异面直线B1D1、A1B的公垂线段,求证该长方体为正方体．12.如图，在正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AA1=AB，点E、M分别为A1B、C1C的中点，过点A1，B，M三点的平面A1BMN交C1D1于点N.（Ⅰ）求证：EM∥平面A1B1C1D1；（Ⅱ）求二面角B—A1N—B1的正切值.参考答案1．（1）证明：因为E、F分别为D1C1和B1C1的中点，所以，又，所以四边形是平行四边形，故，，所以E、F、D、B四点共面.（2），确定平面，又，而，又，而面，，即P，Q，R三点共线.DCABD1C1A1B1EFPQFED1C1B1A1DCBAABCDPABCDPxyz2．证明:过作平面,使 ∥,⊂,,∴∥又 ⊄,⊂,∴∥且∥又、异面,∴与必相交,∴∥.3.解（1）（2）（3），4.（I）证明：(I) PC平面ABC，平面ABC，∴PCAB CD平面PAB，平面PAB，∴CDAB．又，∴AB平面PCB．（II）由(I)AB平面PCB， PC=AC=2，又 AB=BC，可求得BC=．以B为原点，如图建立坐标系．则Ａ（０，，０），Ｂ（0，0，0），C（，０，0），P（，０，2）．，．则+0+0=2．==．∴异面直线AP与BC所成的角为．（III）设平面PAB的法向量为m=(x，y，z)．，，则即解得令=-1,得m=(，0，-1)．设平面PAC的法向量为n=()．，，则即解得令=1,得n=(1，1，0)．=．∴二面角C-PA-B的余弦值为FECByZxGDA5.(1)证明平面ACE. 二面角D—AB—E为直二面角，且，平面ABE.（Ⅱ）以线段AB的中点为原点O，OE所在直线为x轴，AB所在直线为y轴，过O点平行于AD的直线为z轴，建立空间直角坐标系O—xyz，如图.面BCE，BE面BCE，，在的中点，设平面AEC的一个法向量为，则解得令得是平面AEC的一个法向量.又平面BAC的一个法向量为，∴二面角B—AC—E的余弦值为6.（Ⅰ）证明：连AC1、MC1，取AC1的中点G，连MG，则PG//BM且PG=BM=故四边形PGMB为平行四边形，BP//MG，又，，BP//平面AMC1（II）建立如图的空间直角坐标系设，则点M的坐标为，，平面的一个法向量为．由题意得，故7.解：以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴建立空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，1)，E(0，1，)．∴＝(－1，0，0)，＝(0，2，0)，＝(0，0，1)，＝(0，1，)，＝(1，2，－1)，GPMA1B1C1CBAPABCDE(1)平面PDC...
