【数学精品】版《6年高考4年模拟》第二节点、线、面的位置关系第一部分六年高考荟萃年高考题1.[·陕西卷](1)“如图所示，证明命题a是平面π内的一条直线，b是π外的一条直线(b不垂直于π)，c是直线b在π上的投影，若a⊥b，则a⊥c”为真；(2)写出上述命题的逆命题，并判断其真假(不需证明)．解：(1)证法一：如下图，过直线b上任一点作平面π的垂线n，设直线a，b，c，n的方向向量分别是a，b，c，n，则b，c，n共面．根据平面向量基本定理，存在实数λ，μ使得c＝λb＋μn，则a·c＝a·(λb＋μn)＝λ(a·b)＋μ(a·n)，因为a⊥b，所以a·b＝0，又因为aπ，n⊥π，所以a·n＝0，故a·c＝0，从而a⊥c.证法二：如图，记c∩b＝A，P为直线b上异于点A的任意一点，过P作PO⊥π，垂足为O，则O∈c. PO⊥π，aπ，∴直线PO⊥a，又a⊥b，b平面PAO，PO∩b＝P，∴a⊥平面PAO，又c平面PAO，∴a⊥c.(2)逆命题为：a是平面π内的一条直线，b是π外的一条直线(b不垂直于π)，c是直线b在π上的投影，若a⊥c，则a⊥b.逆命题为真命题．2.[·全国卷]如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥底面ABCD，AC＝2，PA＝2，E是PC上的一点，PE＝2EC.(1)证明：PC⊥平面BED；(2)设二面角A－PB－C为90°，求PD与平面PBC所成角的大小．解：方法一：(1)因为底面ABCD为菱形，所以BD⊥AC，又PA⊥底面ABCD，所以PC⊥BD.设AC∩BD＝F，连结EF.因为AC＝2，PA＝2，PE＝2EC，故PC＝2，EC＝，FC＝，从而＝，＝.因为＝，∠FCE＝∠PCA，所以△FCE∽△PCA，∠FEC＝∠PAC＝90°，由此知PC⊥EF.PC与平面BED内两条相交直线BD，EF都垂直，所以PC⊥平面BED.(2)在平面PAB内过点A作AG⊥PB，G为垂足．因为二面角A－PB－C为90°，所以平面PAB⊥平面PBC.又平面PAB∩平面PBC＝PB，故AG⊥平面PBC，AG⊥BC.BC与平面PAB内两条相交直线PA，AG都垂直，故BC⊥平面PAB，于是BC⊥AB，所以底面ABCD为正方形，AD＝2，PD＝＝2.设D到平面PBC的距离为d.因为AD∥BC，且AD⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，故AD∥平面PBC，A、D两点到平面PBC的距离相等，即d＝AG＝.设PD与平面PBC所成的角为α，则sinα＝＝.所以PD与平面PBC所成的角为30°.方法二：(1)以A为坐标原点，射线AC为x轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz.设C(2，0,0)，D(，b,0)，其中b>0，则P(0,0,2)，E，B(，－b,0)．于是PC＝(2，0，－2)，BE＝，DE＝，从而PC·BE＝0，PC·DE＝0，故PC⊥BE，PC⊥DE.又BE∩DE＝E，所以PC⊥平面BDE.(2)AP＝(0,0,2)，AB＝(，－b,0)．设m＝(x，y，z)为平面PAB的法向量，则m·AP＝0，m·AB＝0，即2z＝0，且x－by＝0，令x＝b，则m＝(b，，0)．设n＝(p，q，r)为平面PBC的法向量，则n·PC＝0，n·BE＝0，即2p－2r＝0且＋bq＋r＝0，令p＝1，则r＝，q＝－，n＝.因为面PAB⊥面PBC，故m·n＝0，即b－＝0，故b＝，于是n＝(1，－1，)，DP＝(－，－，2)，cos〈n，DP〉＝＝，〈n，DP〉＝60°.因为PD与平面PBC所成角和〈n，DP〉互余，故PD与平面PBC所成的角为30°.3.[·福建卷]如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E为CD中点．(1)求证：B1E⊥AD1；(2)在棱AA1上是否存在一点P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由；(3)若二面角A－B1E－A1的大小为30°，求AB的长．解：(1)以A为原点，AB，AD，AA1的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系(如图)．设AB＝a，则A(0,0,0)，D(0,1,0)，D1(0,1,1)，E，B1(a,0,1)，故AD1＝(0,1,1)，B1E＝，AB1＝(a,0,1)，AE＝. AD1·B1E＝－×0＋1×1＋(－1)×1＝0，∴B1E⊥AD1.(2)假设在棱AA1上存在一点P(0,0，z0)，使得DP∥平面B1AE.此时DP＝(0，－1，z0)．又设平面B1AE的法向量n＝(x，y，z)． n⊥平面B1AE，∴n⊥AB1，n⊥AE，得取x＝1，得平面B1AE的一个法向量n＝.要使DP∥平面B1AE，只要n⊥DP，有－az0＝0，解得z0＝.又DP⊄平面B1AE，∴存在点P，满足DP∥平面B1AE，此时AP＝.(3)连接A1D，B1C，由长方体ABCD－A1B1C1D1及AA1＝AD＝1，得AD1⊥A1D. B1C∥A1D，∴AD1⊥B1C.又由(1)知B1E⊥AD1，且B1C∩B1E＝B1，∴AD1⊥平面DCB1A1.∴AD1是平面A1B1E的一个法向量，此时AD1＝(0,1,1)．设AD1与n所成的角...
