2.8函数与方程考点函数的零点与方程的根1.(北京,6,5分)已知函数f(x)=-log2x.在下列区间中,包含f(x)零点的区间是()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,4)D.(4,+∞)答案C2.(湖北,9,5分)已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x2-3x.则函数g(x)=f(x)-x+3的零点的集合为()A.{1,3}B.{-3,-1,1,3}C.{2-,1,3}D.{-2-,1,3}答案D3.(重庆,10,5分)已知函数f(x)=且g(x)=f(x)-mx-m在(-1,1]内有且仅有两个不同的零点,则实数m的取值范围是()A.∪B.∪C.∪D.∪答案A4.(福建,15,4分)函数f(x)=的零点个数是.答案25.(天津,14,5分)已知函数f(x)=若函数y=f(x)-a|x|恰有4个零点,则实数a的取值范围为.答案(1,2)6.(陕西,21,14分)设函数f(x)=lnx+,m∈R.(1)当m=e(e为自然对数的底数)时,求f(x)的极小值;(2)讨论函数g(x)=f'(x)-零点的个数;(3)若对任意b>a>0,<1恒成立,求m的取值范围.解析(1)当m=e时,f(x)=lnx+,则f'(x)=,∴当x∈(0,e)时,f'(x)<0,f(x)在(0,e)上单调递减;当x∈(e,+∞)时,f'(x)>0,f(x)在(e,+∞)上单调递增.∴当x=e时,f(x)取得极小值f(e)=lne+=2,∴f(x)的极小值为2.(2)由题设知,g(x)=f'(x)-=--(x>0),令g(x)=0,得m=-x3+x(x>0).设φ(x)=-x3+x(x≥0),则φ'(x)=-x2+1=-(x-1)(x+1),当x∈(0,1)时,φ'(x)>0,∴φ(x)在(0,1)上单调递增;当x∈(1,+∞)时,φ'(x)<0,∴φ(x)在(1,+∞)上单调递减.∴x=1是φ(x)的唯一极值点,且是极大值点,因此x=1也是φ(x)的最大值点,∴φ(x)的最大值为φ(1)=.又φ(0)=0,结合y=φ(x)的图象(如图),可知①当m>时,函数g(x)无零点;②当m=时,函数g(x)有且只有一个零点;③当0时,函数g(x)无零点;当m=或m≤0时,函数g(x)有且只有一个零点;当0a>0,<1恒成立,等价于f(b)-b0),∴(*)等价于h(x)在(0,+∞)上单调递减.由h'(x)=--1≤0在(0,+∞)上恒成立,得m≥-x2+x=-+(x>0)恒成立,∴m≥,∴m的取值范围是.
