《数学奥林匹克报》MathematicalOlympiadExpresswww.mathoe.com26thAnnualAmericanInvitationalMathematicsExamination2008第26届美国数学邀请赛(AIME12008年3月18日注意:1,直到监考老师给出信号方可答题.2,本卷共15道题,答题时间3小时.每题的答案都是000～999之间的整数.如果某题你的答案是7,请在相应位置涂黑007;如果某题你的答案是43,请在相应位置涂黑043.你答对的题数就是你的得分,每题没有部分得分,做错也不倒扣分.3,可以使用草稿纸,方格纸,直尺,圆规,量角器,橡皮.特别地,不许使用计算器和计算机.4,AIME与AMC10或AMC12的总分将用来决定美国数学奥林匹克(USAMO的参赛资格.2008第37届USAMO于4月29日～30日举行.5,请把试题答案和相关信息填涂于AIME答题卡.6,答题卡请用2B铅笔在相应的圆圈内涂黑,方框处可用签字笔书写.7,答题卡不许折叠,不许使用涂改液,涂改带.若需修改请用橡皮擦拭干净后再修改.8,请不要忘记答题卡背面的签名(先英文再中文"Yes"处也请涂黑.,9,LastName姓,FirstName名,Gender性别,Female女,Male男简体中文版试题1,在参加学校聚会的学生中,60%的学生是女生,40%的学生喜欢跳舞.随后又多了20名都会跳舞的男生,现在聚会的人中有58%是女生.那么现在聚会的人中有多少人喜欢跳舞?2,正方形AIME的边长为10,等腰△GEM的底是EM,且△GEM与正方形AIME的公共部分的面积为80.求△GEM的底EM上的高.3,艾德和苏骑自行车的速度相等且恒定,他们慢跑的速度也是相等且恒定,他们游泳的速度也是相等且恒定.艾德在骑车2小时,慢跑3小时,游泳4小时后共行74千米,苏在慢跑2小时,游泳3小时,骑车4小时后共行91千米.他们骑车,慢跑,游泳的速度都是以每小时整千米数行进.求艾德骑车,慢跑,游泳的速度的平方和.普及数学知识,传播奥林文化,快递竞赛信息.《数学奥林匹克报》MathematicalOlympiadExpress22www.mathoe.com4,存在唯一的正整数x,y满足方程x+84x+2008=y.求x+y.5,圆锥的底面圆半径为r,高为h.把此圆锥的侧面平放于桌面,它沿着桌面无滑动地滚动.当圆锥再次回到起始位置时正好滚动17周,这时圆锥的底座边沿在桌面上形成一个以圆锥顶点为圆心的圆弧.比值h能写成mn的形式,其中m,n是正整数且n不能被任何质数的平方整除.求m+n.r6,三角形阵列中的第一行数字按照奇数1,3,5,⋯⋯,99的递增顺序书写,在第一行下面的每一行比上一行少一个数字,最底部的一行只有一个数字.每行的相邻两个数字之和写在这两个数字中间的下一行的位置.这个阵列中有多少个数是67的倍数?14385⋯⋯⋯12⋯⋯⋯⋯⋯7,设Si是满足条件100i≤n<100(i+1的所有整数n的集合.例如,S4={400,401,402,在集合S0,S1,S2,⋯⋯,S999中有多少个不包括完全平方数?9719699,499}.8,求出满足条件arctan1111π+arctan+arctan+arctan=的正整数n.345n49,同样规格的木箱的长宽高分别是3英尺,4英尺,6英尺.第一个木箱放置在地面上,其余九个木箱依次被放置于前一个木箱的上面,且每个木箱的朝向是被随机地选择来放置.设高度正好达41英尺的概率,这里m,n是互质的正整数.求m.m是使得堆放的木箱的n10,等腰梯形ABCD中,AD‖BC,下底AD上的底角是π3.对角线长1021.EA=107,ED=307.CF⊥AD于F.线段EF的长度可以表示为mn的形式,其中m,n是正整数且n不能被任何质数的平方整除.求m+n.11,考察完全由字母A和B组成的具有如下性质的序列:每个连写的A有偶数长度,每个连写的B有奇普及数学知识,传播奥林文化,快递竞赛信息.《数学奥林匹克报》MathematicalOlympiadExpresswww.mathoe.com数长度.例如AA,B,AABAA都是这样的序列,而BBAB就不是这样的序列.在长度为14的序列中有多少个具有这种性质?12,在一段单车道单行线的长直高速公路上,汽车均以相同的速度且都遵循安全规则:每个15千米/小时的速度,前一辆车的车尾到下一辆车的车头的距离是一辆车的长度(不足15千米的按15千米/千米算,因此,当前一辆车每小时行52千米时,前一辆车的车尾与后一辆车的车头将相距4个车长.安放在路边的电子眼摄像头用来记录一小时内通过的车辆数目,假定每辆车是4米长,且汽车可以以任何速度穿过.设M是一小时内电子眼摄像头能够记录的通过的最大整数.求M被10除所得的商.13,设p(x,y=a0+a1x+a2y+a3x+a4xy+a5y+a6x+a7xy+a8xy...
