数形结合思想一、知识整合1．数形结合是数学解题中常用的思想方法，使用数形结合的方法，很多问题能迎刃而解，且解法简捷。所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法。数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合。2．实现数形结合，常与以下内容有关：①实数与数轴上的点的对应关系；②函数与图象的对应关系；③曲线与方程的对应关系；④以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、三角函数等；⑤所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。3．纵观多年来的高考试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果，数形结合的重点是研究“以形助数”。4．数形结合的思想方法应用广泛，常见的如在解方程和解不等式问题中，在求函数的值域，最值问题中，在求复数和三角函数问题中，运用数形结合思想，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程这在解选择题、填空题中更显其优越，要注意培养这种思想意识，要争取胸中有图，见数想图，以开拓自己的思维视野。二、例题分析例1.分析：，例2.解：法一、常规解法：法二、数形结合解法：例3.A.1个B.2个C.3个D.1个或2个或3个分析：出两个函数图象，易知两图象只有两个交点，故方程有2个实根，选（B）。例4.分析：例5.分析：构造直线的截距的方法来求之。截距。例6.分析：以3为半径的圆在x轴上方的部分，（如图），而N则表示一条直线，其斜率k=1，纵截例7.MF1的中点，O表示原点，则|ON|=（）分析：①设椭圆另一焦点为F2，（如图），又注意到N、O各为MF1、F1F2的中点，∴ON是△MF1F2的中位线，②若联想到第二定义，可以确定点M的坐标，进而求MF1中点的坐标，最后利用两点间的距离公式求出|ON|，但这样就增加了计算量，方法较之①显得有些复杂。例8.分析：例9.解法一（代数法）：，解法二（几何法）：例10.分析：转化出一元二次函数求最值；倘若对式子平方处理，将会把问题复杂化，因此该题用常规解法显得比较困难，考虑到式中有两个根号，故可采用两步换元。解：第一象限的部分（包括端点）有公共点，（如图）相切于第一象限时，u取最大值三、总结提炼数形结合思想是解答数学试题的的一种常用方法与技巧，特别是在解决选择、填空题是发挥着奇特功效，复习中要以熟练技能、方法为目标，加强这方面的训练，以提高解题能力和速度。四、强化训练见优化设计。【模拟试题】一、选择题：1.方程的实根的个数为（）A.1个B.2个C.3个D.4个2.函数的图象恰有两个公共点，则实数a的取值范围是（）A.B.C.D.3.设命题甲：，命题乙：，则甲是乙成立的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.不充分也不必要条件4.适合且的复数z的个数为（）A.0个B.1个C.2个D.4个5.若不等式的解集为则a的值为（）A.1B.2C.3D.46.已知复数的最大值为（）A.B.C.D.7.若时，不等式恒成立，则a的取值范围为（）A.（0，1）B.（1，2）C.（1，2]D.[1，2]8.定义在R上的函数上为增函数，且函数的图象的对称轴为，则（）A.B.C.D.二、填空题：9.若复数z满足，则的最大值为___________。10.若对任意实数t，都有，则、由小到大依次为___________。11.若关于x的方程有四个不相等的实根，则实数m的取值范围为___________。12.函数的最小值为___________。13.若直线与曲线有两个不同的交点，则实数m的取值范围是___________。三、解答题：14.若方程上有唯一解，求m的取值范围。15.若不等式的解集为A，且，求a的取值范围。16.设，试求下述方程有解时k的取值范围。【试题答案】一、选择题1.C提示：画出在同一坐标系中的图象，即可。2.D提示：画出的图象情形1：情形2：3.A4.C提示：|Z－1|=1表示以（1，0）为圆心，以1为半径的圆，显然点Z对应的复数满足条件，另外，点O对应的复数O，因其辐角是多值，它也满足，故满足条件的z有两个。5.B提示：画出的图象，依题意，从而。6.C提示：由可知，z2对应的点在以（0，0）为圆心，以2为...
