§1.5.3定积分的概念教学目标：1.通过求曲边梯形的面积和汽车行驶的路程，了解定积分的背景；2.借助于几何直观定积分的基本思想，了解定积分的概念，能用定积分定义求简单的定积分；3.理解掌握定积分的几何意义．教学重点：定积分的概念、用定义求简单的定积分、定积分的几何意义．教学难点：定积分的概念、定积分的几何意义．教学过程：一．创设情景复习：1．回忆前面曲边梯形的面积，汽车行驶的路程等问题的解决方法，解决步骤：分割→近似代替(以直代曲)→求和→取极限（逼近）2．对这四个步骤再以分析、理解、归纳，找出共同点．二．新课讲授1．定积分的概念一般地，设函数在区间上连续，用分点将区间等分成个小区间，每个小区间长度为（），在每个小区间上任取一点，作和式：如果无限接近于（亦即）时，上述和式无限趋近于常数，那么称该常数为函数在区间上的定积分。记为：，其中积分号，－积分上限，－积分下限，－被积函数，－积分变量，－积分区间，－被积式。说明：（1）定积分是一个常数，即无限趋近的常数（时）记为，而不是．（2）用定义求定积分的一般方法是：①分割：等分区间；②近似代替：取点1；③求和：；④取极限：（3）曲边图形面积：；变速运动路程；变力做功2．定积分的几何意义从几何上看，如果在区间上函数连续且恒有，那么定积分表示由直线和曲线所围成的曲边梯形(如图中的阴影部分)的面积，这就是定积分的几何意义。说明：一般情况下，定积分的几何意义是介于轴、函数的图形以及直线之间各部分面积的代数和，在轴上方的面积取正号，在轴下方的面积去负号。分析：一般的，设被积函数，若在上可取负值。考察和式不妨设于是和式即为阴影的面积—阴影的面积（即轴上方面积减轴下方的面积）思考：根据定积分的几何意义，你能用定积分表示图中阴影部分的面积S吗？3．定积分的性质根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质：2性质1；性质2（定积分的线性性质）；性质3（定积分的线性性质）；性质4（定积分对积分区间的可加性）(1)；(2)；说明：①推广：②推广:③性质解释：PCNMBAabOyxy=1yxOba三．典例分析例1．利用定积分的定义，计算的值。分析：令；（１）分割把区间n等分，则第i个区间为：，每个小区间长度为：；（２）近似代替、求和取，则3性质1性质4（３）取极限.例2．计算定积分分析：所求定积分是所围成的梯形面积，即为如图阴影部分面积，面积为。即：思考：若改为计算定积分呢？改变了积分上、下限，被积函数在上出现了负值如何解决呢？（后面解决的问题）例３．计算定积分分析：利用定积分性质有，利用定积分的定义分别求出，，就能得到的值。四．课堂练习计算下列定积分1．2．3．课本练习：计算的值，并从几何上解释这个值表示什么？五．回顾总结1．定积分的概念、用定义法求简单的定积分、定积分的几何意义．六．布置作业P503、5412yxO
