1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质双基达标限时20分钟1．已知(a＋b)n展开式中只有第5项的二项式系数最大，则n等于()．A．11B．10C．9D．8解析∵只有第5项的二项式系数最大，∴＋1＝5.∴n＝8.答案D2.的展开式中第8项是常数，则展开式中系数最大的项是()．A．第8项B．第9项C．第8项或第9项D．第11项或第12项解析展开式中的第8项为C()n－7为常数，即＝0，∴n＝21.∴展开式中系数最大的项为第11项或第12项．答案D3．设(3－x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，若n＝4，则a0－a1＋a2＋…＋(－1)nan＝()．A．256B．136C．120D．16解析在展开式中令x＝－1得a0－a1＋a2－a3＋a4＝44.故选A.答案A4．在二项式(1－2x)6的展开式中，所有项的系数之和为________．解析令x＝1，得(1－2x)6展开式中所有项的系数和为(1－2)6＝1.答案15.如图是一个类似杨辉三角的递推式，则第n行的首尾两个数均为________．解析由1，3，5，7，9，…，可知它们成等差数列，所以an＝2n－1.答案2n－16．设(1＋x)＋(1＋x)2＋(1＋x)3＋…＋(1＋x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，当a0＋a1＋a2＋…＋an＝254时，求n的值．解令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋an＝2＋22＋23＋…＋2n＝＝254，∴2n＝128，即n＝7.综合提高（限时25分钟）7．若(x＋3y)n展开式的系数和等于(7a＋b)10展开式中的二项式系数之和，则n的值为1()．A．5B．8C．10D．15解析(7a＋b)10展开式的二项式系数之和为210，令x＝1，y＝1，则由题意知，4n＝210，解得n＝5.答案A8．(2012·济宁高二检测)如果的展开式中各项系数之和为128，则展开式中的系数是()．A．7B．－7C．21D．－21解析令x＝1，则(3－1)n＝128＝2n，∴n＝7即求展开式中通项Tr＋1＝C·(3x)7－r·(x－)r·(－1)r＝C37－r·x7－·(－1)r.令7－＝－3，得r＝6，即系数为C·3＝21.答案C9．在(a－b)10的二项展开式中，系数最小项是________．解析在(a－b)10的二项展开式中，奇数项的系数为正，偶数项的系数为负，且偶数项系数的绝对值为对应的二项式系数，因为展开式中第6项的二项式系数最大，所以系数最小的项为T6＝Ca5(－b)5＝－252a5b5.答案－252a5b510．若(1－2x)2012＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2012x2012(x∈R)，则(a0＋a1)＋(a0＋a2)＋(a0＋a3)＋…＋(a0＋a2012)＝________．(用数字作答)解析在(1－2x)2012＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2012x2012中，令x＝0，则a0＝1，令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a2012＝(－1)2012＝1，故(a0＋a1)＋(a0＋a2)＋(a0＋a3)＋…＋(a0＋a2012)＝2011a0＋a0＋a1＋a2＋a3…＋a2012＝2012.答案201211．已知(1－2x＋3x2)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a13x13＋a14x14，求(1)a1＋a2＋…＋a14；(2)a1＋a3＋a5＋…＋a13.解(1)令x＝1得a0＋a1＋a2＋…＋a14＝27.令x＝0得a0＝1，∴a1＋a2＋…＋a14＝27－1.(2)由(1)得a0＋a1＋a2＋…＋a14＝27，①令x＝－1得a0－a1＋a2－…－a13＋a14＝67，②2由①－②得：2(a1＋a3＋a5＋…＋a13)＝27－67，∴a1＋a3＋a5＋…＋a13＝.12．(创新拓展)(2012·长沙高二检测)对于二项式(1－x)10.(1)求展开式的中间项是第几项？写出这一项；(2)求展开式中除常数项外，其余各项的系数和；(3)写出展开式中系数最大的项．解(1)由题意可知：r＝0，1，2，…，11，展开式共11项，所以中间项为第6项：T6＝C(－x)5＝－252x5.(2)设(1－x)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a10＝0，令x＝0，得a0＝1，∴a1＋a2＋…＋a10＝－1.(3)∵中间项T6的系数为负，∴系数最大的项为T5和T7，T5＝Cx4＝210x4，T7＝Cx6＝210x6.3
