7.5数学归纳法的应用一、教学内容分析1．本小节的重点是用数学归纳法证明等式、证明数或式的整除.教学时应对书写与表达提出严格的要求.尤其是在证明数或式的整除性时，更要注意说理清楚，并以此作为培养学生逻辑推理能力的一个抓手.2．本小节的难点是用数学归纳法证明数或式的整除性.突破难点的关键是在授课时要重点分析“补项法”的证明思路：通过补项为运用归纳假设创造条件.不要让学生单纯机械地模仿.另外还常用作差方法，通过相减后，证明差能被某数（或某式）整除,再利用归纳假设可得当n=k+1时命题成立.二、教学目标设计1．会用数学归纳法证明等式；2．会用数学归纳法证明数或式的整除；3．进一步掌握数学归纳法的证明步骤与数学归纳法的实质.三、教学重点及难点：用数学归纳法证明等式、证明数或式的整除.四、教学流程设计五、教学过程设计1．复习回顾：用数学归纳法证明命题的两个步骤，是缺一不可的.如果只完成步骤（i）而缺少步骤（ii）用心爱心专心等式证明复习回顾实例引入数式整除运用与深化(例题解析、巩固练习、课后习题)不能说明命题对从n0开始的一切正整数n都成立.如(2)2n+1，当n=0、1、2、3、4时都是素数，而n=5时，(2)2n+1=641×6700417不是素数.同样只有步骤（ii）而缺少步骤（i），步骤（ii）的归纳假设就没有根据，递推就没有基础，就可能得出不正确的结论.如2+4+6+…+2k=k2+k+a（a为任何数）2．讲授新课:用数学归纳证明等式例1:用数学归纳法证明:1×4+2×7+3×10+…+n（3n+1）=n（n+1）2例2：用数学归纳法证明：12+22+32+…+n2=16n（n+1）（2n+1）.[说明]上述两例师生共同讨论完成.完成两例讨论后向学生指出：(1)由于证明当n=k+1等式成立时，需证明的结论形式是已知的，只要将原等式中的n换成k+1即得，因此学生在证明过程中，证明步骤必须完整，不能跳步骤；（2）有些等式证明题在证明当n=k+1正确时，需用恒等变形，技巧较高，对基础较差的学生来说完成很困难，这时可通过左、右边的多项式乘法来完成.如求证：2213…221(21)(41)3nnn（nN*）.证明：（1）当n=1时，左边=1，右边=13×1×（4-1）=1等式成立.（2）假设当n=k（kN*）时等式成立，即2222113(21)(41)3kkk,则n=k+1时，222222232135(21)(21)1(41)(21)31(412113)3kkkkkkkk又21(1)[4(1)1]3kk用心爱心专心2321(1)[2(1)1][2(1)1]311(23)(21)(1)(483)(1)331(412113)3kkkkkkkkkkkk即2222221135(21)(21)(1)[4(1)1]3kkkk等式成立.由（1）（2）知，等式对任何nN*都成立.(3)用数学归纳法证明恒等式成立时，在逆推过程中应注意等式左右的项数的变化.由当n=k到n=k+1时项数的增加量可能多于一项，各项也因n的变化而变化,因此要根据等式的特点仔细分析项数及各项的变化情况.例如：求证：111111111234212122nnnnn…………（nN*）.例3（补充）在1与9之间插入2n-1个正数数1221,naaa……，使1，1221,naaa……，9成等比数列，在1与9之间又插入2n-1个正数1221,nbb……b，使1，1221,nbb……b，9成等差数列.设1232-1()nfnaaaa……，1232-1(),*ngnbbbbnN……,（1）求()fn、()gn（2）设()9()4()17Fnfngn，是否存在最大自然数m，使对于nN*都有()Fn被m整除，试说明理由.解：（1）123232221()nnnfnaaaaaa12122232311()()()()nnnnnnaaaaaaaaa121(1)9993393nnn个123232221()nnngnbbbbbb用心爱心专心12122232311()()()()nnnnnnbbbbbbbbb(1)101010510(1)5105nnn个（2）2121()9()4()17934(105)173403nnFnfngnnn当n=1时，(1)F=64当n=2时，(2)F=320=5×64当n=3时，(3)F=36×64由此猜想：最大自然数m=64用数学归纳法证明上述猜想：1.当n=1时，猜想显然成立;2.假设当n=k（kN*）时成立，即21()3403kFkk能被64整除，则当n=k+1时，2321(...
