高二数学（第27讲）【教学内容】第十章排列组合和概率10.1排列要求：1、学习掌握两个基本原理，排列、排列数等基本概念，熟练运用这些基本概念解题；2、掌握解排列题的思想方法，适当地分类、分步、构造恰当的解法解决问题。【学习指导】1、掌握排列的概念：定义：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n个元素中每次取出m个元素的一个排列。根据排列的定义，两个从n个元素里取出m个元素的排列，如果它们所含的元素不同，或者虽含相同的元素，而元素排列的顺序不同，那么这两个排列是不同的。2、掌握排列数公式：（1）排列数定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，记作A。（2）排列数公式：A=n·(n-1)·(n-2)…(n-m+1)，这里m,n∈N*，并且m≤n，当m=n时，有故，此公式的作用：当对含有字母的排列数的式子进行变形和论证时，常写成这种形式去沟通。为了论证排列数公式，我们要学习两条基本原理：（1）分类计数原理（也叫加法原理）：完成一件事，有n类相互独立的办法，在第1类办法中有m1种不同方法，在第2类办法中有m2种不同方法，……，在第n类办法中有mn种不同方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+…+mn种不同的方法。（2）分步计数原理（宜称乘法原理）：完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同方法，做第2步有m2种不同方法，……，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1×m2×…×mn种不同的方法。（3）对于重复排列的问题通常采用逐步分析法及乘法原理解决；对于无限制的排列问题应用排列数公式直接求得；对于有限制条件的排列问题，应弄清楚限制条件是什么。此类题通常有正用心爱心专心1向思维与逆向思维两种思路，正向思维时，设法将复杂问题分解化。解题方法有：①特殊数字法；②特殊位置法；③捆绑法；④插空法等。逆向思维时一般采用求补集的方法解决。【典型例题】例1：由1，2，3，4，5这五个数字①能够组成多少个没有重复数字的三位数？②能够组成多少个三位数？解：①从1，2，3，4，5这五个数字中任取三个分别排在百位、十位、个位上有：（个）∴能组成60个无重复数字的三位数。②可分三步完成，第一步从1，2，3，4，5这五个数字中任选一个排在百位有种不同的排法；由于允许重复，所以第二步排十位也有种不同的排法；第三步排个位也有种不同的排法，由分步计数原理有：（个）∴能够组成125个三位数。例2：由0，1，2，3这四个数字能够组成多少个无重复数字的三位数？解法一：因为在一个三位数中，百位数字不能排0，所以可分两步来解：第一步从1，2，3这三个数字中任选一个排在百位有种不同的排法；第二步再从余下的三个数中任选两个分别排在十位与个位有种不同的排法；由乘法原理可得：总数：解法二：由于0不能排在百位，则此问题可分为两类：第一类是不含0，则可组成个不同的三位数；第二类是含0，先把0排在十位或个位上，有种不同的排法，再从1，2，3中任选两个排在剩余的两位置上有种不同的排法，那么含0的三位数有个，由加法原理可得：总数用心爱心专心2=6+12=18（个）。解法三：先求出0排在首位的三个不重复数的三位数有个，然后从所求不重复三位数字的排列数中将它减去，有：（个）例3：六人站成一排，其中甲必须排在排头，乙必须排在排尾的排法有多少种？解：首先把甲排在排头，乙排在排尾，仅有一排法，再把其余的四名同学全排在中间的四个位置上有种不同的排法，则总数有N=1，（种）。例4：三本不同的化学书，四本不同的数学书在书架上排成一排，不使同类书分开的排法有多少种？解：由于不使同类书分开，则把三本不同的化学书捆在一起，四本不同的数学书捆在一起，使七本不同书转化为两捆不同的书的排列有种不同的排法，再把三本不同的化学书在它们相邻的位置全排列有种不同的排法，由乘法原理得：总数（种）。例5：四名篮球运动员和三名足球运动员站成一排，任何两名足球运动员都不站在一去的站法有（）A、(4!)2B、4!3!C、A·4D、答：D解：四名篮球运动员站成一排的方法有4!种方法，而站好的四名篮球运动员之间有5个空隙，要使这3个足球运动员中任...
