6.4反三角函数（2）——反余弦函数、反正切函数一、教学内容分析根据反函数的概念，余弦函数y=cosx（x∈R）没有反函数.但是如果我们适当选取实数集R的一个子集[0，π]，那么函数y=cosx，x∈[0，π]就存在反函数，为什么要选取[0，π]，教师要引导学生作必要的讨论和说明.类比反正弦函数的定义，我们把函数y=cosx，x∈[0，π]的反函数叫做反余弦函数，记作y=arccosx，x∈[-1，1]，学生对符号的arccosx的理解比较困难，前面符号中的x必须满足|x|≤1，arccosx是[0，π]上的一个角的弧度数，这个角的余弦值为x.根据互为反函数间的图像关系，函数y=arccosx，x∈[-1，1]的图像和函数y=cosx，x∈[0，π]的图像应该关于直线y=x对称，这样容易作出反余弦函数的图像，根据其图像可以得到反余弦函数y=arccosx，x∈[-1，1]既不是奇函数也不是偶函数，但是单调递减.类似地，把正切函数y=tanx，x∈（-2，2）的反函数叫做反正切函数，记作y=arctanx，x∈（-∞，∞），根据互为反函数间的图像关系，函数y=arctanx，x∈（-∞，∞）的图像和函数y=tanx，x∈（-2，2）的图像应该关于直线y=x对称，这样容易作出反正切函数的图像，根据其图像可以得到反正切函数y=arctanx，x∈（-∞，∞）是奇函数，单调递增.二、教学目标设计1．理解函数y=cosx（x∈R），y=tanx（x≠kπ+2，k∈Z）没有反函数；理解函数y=cosx，x∈[0，π]，y=tanx，x∈（-2，2）有反函数；理解反余弦函数y=arccosx，反正切函数y=arctanx的概念，掌握反余弦函数的定义域是[-1，1]，值域是[0，π]；反正切函数的定义域是（-∞，∞），值域是（-2，2）.2．知道反余弦函数y=arccosx，x∈[-1，1]和反正切函数y=arctanx，x∈（-∞，∞）的图像.3．掌握等式cos（arccosx）=x，x∈[-1，1]，arccos（-x）=π-arccosx，x∈[-1，1]和tan（arctanx）=x，x∈（-∞，∞），arctan（-x）=-arctanx，x∈（-∞，∞）.4．能够熟练计算特殊值的反余弦函数值和反正切函数值，并能用反余弦函数值和反正切函数值表示角.5．会用类比、数形结合等数学思想分析和思考问题.三、教学重点及难点教学重点：教学重点：理解反余弦函数和反正切函数的概念以及他们的符号的本质.教学难点：公式教学难点：公式arccos（-x）=π-arccosx、arctan（-x）=-arctanx的证明及其使用.四、教学用具准备直尺、多媒体设备用心爱心专心五、教学流程设计六、教学过程设计一、情景引入1．复习我们学习过反正弦函数，知道，对于函数y=sinx，x∈R，不存在反函数；但在[,22]存在反函数.2．思考那么余弦函数和正切函数是否存在反函数呢？[说明]因为对于任一余弦值y和正切值y都有无数个角值x与之对应.余弦函数和正切函数的自变量与因变量是多对一的.故而不存在反函数.3．讨论余弦函数和正切函数不存在反函数.但选取怎样的区间使得xycos或y=tanx在对应区间上存在反函数呢.因变量可以确定自变量，余弦值或正切值可以表示相应的角值，并且将该区间上的角值用相应的余弦值或正切值表示就可以了.学生讨论应该选取怎样的区间，使得xycos或y=tanx存在反函数呢？这个区间的选择依据两个原则：用心爱心专心余弦函数、正切函数的图象与性质互为反函数的两个函数的图象与性质的关系反余弦函数、反正切函数的图象与性质应用举例(求特殊值的反余弦函数值和反正切函数值、用反余弦函数值和反正切函数值表示角、运用反余弦和反正切恒等式化简或求值)巩固、反馈、总结、反思、作业反余弦函数、反正切函数的定义（师生讨论、探究、提炼概念）（1）xycos和y=tanx在所取对应区间上存在反函数；（2）能取到xycos的一切函数值1,1，y=tanx一切函数值R.可以选取闭区间[0，π]，使得xycos在该区间上存在反函数；可以选取闭区间（-2，2），使得y=tanx在该区间上存在反函数，这个反函数就是今天要学习的反余弦函数和反正切函数.二、学习新课1．概念辨析（1）反余弦函数和反正切函数的定义：余弦函数y=cosx，x∈[0，π]的反函数叫做反余弦函数，记作y=arccosx，x∈[-1，1]；正切函数y=tanx，x∈（-2，2）的反函数叫做反正切函数，记作y=arctanx，x∈（-∞，∞）；（2）反...
