第7课时 正、余弦定理的应用（1）VIP免费

听课随笔第7课时正、余弦定理的应用（1）【学习导航】知识网络学习要求1．综合运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决与测量学、航海问题等有关的实际问题2．分清仰角、俯角、张角、视角和方位角及坡度、经纬度等概念3．将实际问题转化为解三角形问题【课堂互动】自学评价1．正弦定理、余弦定理及其变形形式，（1）正弦定理、三角形面积公式：；（2）正弦定理的变形：；；．（3）余弦定理：1）变形：2）2．运用正弦定理、余弦定理解决实际问题的基本步骤是：①分析：理解题意，弄清清与未知，画出示意图（一个或几个三角形）；②建模：根据书籍条件与求解目标，把书籍量与待求量尽可能地集中在有关三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型；③求解：利用正弦定理、余弦定理理解这些三角形，求得数学模型的解；④检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解。【精典范例】【例1】为了测量河对岸两点之间的距离，在河岸这边取点，测得，，，，.设在同一平面内，试求之间的距离（精确到）.【解】在中，，，则.又，由正弦定理，得.在中，，，则.又，由正弦定理，得在中，由余弦定理，得，所以答两点之间的距离约为.【例2】某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在处获悉后，测出该渔轮在方位角为，距离为的处，并测得渔轮正沿方位角为的方向，听课随笔以的速度向小岛靠拢，我海军舰艇立即以的速度前去营救.求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间（角度精确到，时间精确到）.【解】设舰艇收到信号后在处靠拢渔轮，则，，又，.由余弦定理，得即化简，得，解得（负值舍去）.由正弦定理，得所以，方位角为.答舰艇应沿着方向角的方向航行，经过就可靠近渔轮.【例3】某海岛上一观察哨在上午时测得一轮船在海岛北偏东的处，时分测得轮船在海岛北偏西的处，时分轮船到达海岛正西方的港口.如果轮船始终匀速前进，求船速.【解】设，船的速度为，则，.在中，，.在中，，.在中，，，，船的速度.追踪训练一1．曲柄连杆机构示意图如图所示．当曲柄ＯＡ在水平位置ＯＢ时，连杆端点Ｐ在Ｑ的位置．当ＯＡ自ＯＢ按顺时针方向旋转α角时，Ｐ和Ｑ之间的距离是xｃｍ．已知ＯＡ＝２５ｃｍ，ＡＰ＝１２５ｃｍ，根据下列条件，求ｘ的值（精确到０．１ｃｍ）：（１）α＝５０°；（２）α＝１３５°.答案：（１）ｃｍ（２）ｃｍ听课随笔2．如图，货轮在海上以４０ｎｍｉｌｅ／ｈ的速度由Ｂ向Ｃ航行，航行的方位角∠ＮＢＣ＝１４０°，Ａ处有灯塔，其方位角∠ＮＢＡ＝１１０°，在Ｃ处观察灯塔Ａ的方位角∠Ｎ′ＣＡ＝３５°，由Ｂ到Ｃ需航行０．５ｈ，求Ｃ到灯塔Ａ的距离．答案：ｎｍｉｌｅ3．如图，某人在高出海面６００ｍ的山上Ｐ处，测得海面上的航标Ａ在正东，俯角为３０°，航标Ｂ在南偏东６０°，俯角为４５°，求这两个航标间的距离．答案：这两个航标间的距离是600m.【选修延伸】【例4】三角形ABC中有两个角分别为300和450，，求⊿ABC的面积。【解】由条件知三角形的第三个角为1050，设三角形外接圆半径为，则.追踪训练二1．在⊿ABC中，已知A=，且，则C的值为（C）A4B9C4或9D无解2．有一广告气球，直径为6m，放在公司大楼的上空，当行人仰望气球中心的仰角为300时，测得气球的视角，若很小时可取，则估算该气球离地高度为（B）A72mB86mC102mD118m3．在锐角三角形ABC中，，，则边的取值范围是（C）ABCD提示：分边是最大边和不是最大边两种情况讨论，用余弦定理。4．在⊿ABC中，若，则B=600。提示：由条件知，，【师生互动】学生质疑教师释疑