第三十四课时函数模型及其应用（2）【学习导航】知识网络学习要求1．能用指数函数、对数函数解决如复利、人口增长等与增长率有关的问题，2．提高学生根据实际问题建立函数关系的能力.自学评价1.复利把前一期的利息和本金加在一起做本金，再计算下一期的利息．（就是人们常说的“利滚利”）．设本金为，每期利率为，存期为，则本金与利息和．2.单利在计算每一期的利息时，本金还是第一期的本金．设本金为，每期利率为，存期为，则本金与利息和．3．在实际问题中，常常遇到有关平均增长率的问题，如果原来产值的基础数为，平均增长率为，则对于时间的总产值，可以用公式表示．【精典范例】例1：物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述:设物体的初始温度是,经过一定时间后的温度是,则,其中表示环境温度,称为半衰期.现有一杯用热水冲的速容咖啡,放在的房间中,如果咖啡降到需要,那么降温到时,需要多长时间?【解】由题意知,即,解之,得,故,当时,代入上式,得,即，两边取对数,用计算器求得因此,约需要,可降温到点评:本题是利用已知的函数模型来解决物理问题，需由已知条件先确定函数式，然后再求解.本题的实质为已知自变量的值，求对应的函数值的数学问题，由于运算比较复杂，要求学生借助计算器进行计算.例2：现有某种细胞个，其中有占总数的细胞每小时分裂一次，即由个细胞分裂成个细胞，按这种规律发展下去，经过多少小时细胞总数可以超过个？（参考数据：）.分析：现有细胞个，先考虑经过、、、个小时后的细胞总数，【解】小时后，细胞总数为待定系数法服务函数模型（指、对数）实际问题（增长率）函数模型的结果听课随笔；小时后，细胞总数为；小时后，细胞总数为；小时后，细胞总数为;可见，细胞总数与时间（小时）之间的函数关系为：，由，得，两边取以10为底的对数，得，∴， ，∴.答：经过小时，细胞总数超过个.点评:本例用归纳猜想的方法得出了细胞总数与时间之间的函数关系式；解类似这类的不等式，通常在不等式两边同时取对数，利用对数函数的单调性求解．这种通过观察几个特殊值的特征，从而归纳出函数一般表达式的方法叫做“不完全归纳法”，是高中数学中非常重要的一种方法．例3：某公司拟投资万元，有两种获利的可能可供选择：一种是年利率，按单利计算，年后收回本金和利息；另一种是年利率，按每年复利一次计算，年后收回本金和利息．哪一种投资更有利？这种投资比另一种投资年可多得利息多少元？参考数据：，分析：可分别根据复利与单利的计算方法，分别计算出本息和，再进行比较，判断优劣．【解】本金万元，年利率，按单利计算，年后收回的本息和是万元，本金万元，年利率，按每年复利一次计算，年后收回的本息和是万元，因此，按年利率的复利一次计算要比按年利率的单利计算更有利，年后多得利息万元．点评：我国现行的定期储蓄中的自动转存业务是一种类似复利计息的储蓄．追踪训练一1．某工厂的一种产品的年产量第二年比第一年增加，第三年比第二年增加，求这两年的平均增长率．解：设该产品第一年的年产量为，两年的平均增长率为，则解得2．在银行进行整存整取的定期储蓄，当到期时，银行会将本息和进行自动转存，某人年月日在银行存入元的一年定期，年利为，若他暂时不取这笔钱，当到年月日时，该笔存款的本息和为多少元？（精确到元）答案：元.3.已知镭经过年剩留原来质量的，计算经过多少年剩留原来质量的一半？分析：设原来的质量为，由题意可知经过乘年剩留，经过乘年剩留，……经过乘年剩留，依题意有听课随笔【解】设经过乘年后剩留原来质量的一半，依题意，有，两边取对数，得解得.（年）.答：约经过年剩留原来质量的一半.【选修延伸】一、函数与图像高考热点1.（1998全国文11，理10）向高为的水瓶中注水，注满为止.如果注水量V与水深的函数关系的图象如图所示，那么水瓶的形状是（）【解】答案分析：如上图所示，取水深时，注水量，即水深至一半时，实际注水量大于水瓶总水量之半.中，、中，故排除、、，选.思维点拔：（1）解答应用题的基本步骤：①设：合理、恰当的设出变量；②写：根据题意，抽象概括数量关系，并能用数学语言表示，得到数学...
