听课随笔第12课时等比数列的前n项和(1)【学习导航】知识网络学习要求1．掌握用“错位相减”的方法推导等比数列的前n项和公式，掌握等比数列的前n项和公式2．会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列的一些简单问题【自学评价】1.等比数列｛an｝的前n项和为Sn当时，①或②当q=1时，当已知,q,n时用公式①；当已知,q,时，用公式②.2.若数列｛an｝的前n项和Sn＝p(1－qn)，且p≠0，q≠1，则数列｛an｝是等比数列.【精典范例】【例1】在等比数列｛an｝中，（１）已知＝－4，＝12，求；（２）已知＝１，＝243，＝3，求．【解】（1）根据等比数列的前ｎ项和公式，得（2）根据等比数列的前ｎ项和公式，得【例2】在等比数列｛an｝中，，求an.【解】若ｑ＝１，则Ｓ６＝２Ｓ３，这与已知是矛盾的，所以ｑ≠１．从而将上面两个等式的两边分别相除，得所以ｑ＝２，由此可得，因此点评:等比数列中五个基本量a1、q、an、n、Sn，知三可求二.【例3】在等比数列｛an｝中，a1+an=66,a2·an－1=128,且前n项和Sn=126,求n及公比q.【解】∵a1an=a2an－1=128,又a1+an=66,∴a1、an是方程x2－66x+128=0的两根，解方程得x1=2,x2=64,∴a1=2,an=64或a1=64,an=2,显然q≠1.若a1=2,an=64,由=126得2－64q=126－126q,∴q=2,由an=a1qn－1得2n－1=32,∴n=6.若a1=64,an=2,同理可求得q=,n=6.综上所述，n的值为6，公比q=2或.点评:等比数列中五个基本量a1、q、an、n、Sn，知三可求二，列方程组是求解的常用方法.解本题的关键是利用a1an＝a2an－1，进而求出a1、an，要注意a1、an是两组解.追踪训练一1．某厂去年的产值记为１，计划在今后五年内每年的产值比上年增长１０％，则从今年起到第五年，这个厂的总产值为（Ｃ）．Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．2．求下列等比数列的各项和：（１）１，３，９，…，2187；（２）１，，，，…，.【答案】（1）3280；（2）3．等比数列｛an｝的各项都是正数，若a1＝81，a5＝16，则它的前5项和是（B）A.179B.211C.243D.2754．若等比数列｛an｝的前n项之和Sn=3n+a,则a等于（D）听课随笔A.3B.1C.0D.－15．已知等比数列的公比为2，若前4项之和等于1，则前8项之和等于（B）A.15B.17C.19D.21【选修延伸】【例4】是等比数列，是其前n项和，数列（）是否仍成等比数列？【解】设首项是，公比为q,①当q=－1且k为偶数时，不是等比数列.∵此时，=0.例如：数列1,－1,1,－1,…是公比为－1的等比数列，S2=0,②当q≠－1或k为奇数时，＝＝＝（）成等比数列追踪训练二1.在等比数列｛an｝中，Sn表示前n项和，若a3=2S2＋1，a4=2S3+1,则公比q等于（A）A.3B.－3C.－1D.12.等比数列｛an｝中，a3=7,前3项之和S3=21,则公比q的值为（C）A.1B.－C.1或－D.－1或3.在公比为整数的等比数列｛an｝中，已知a1＋a4＝18，a2＋a3＝12，那么a5＋a6＋a7＋a8等于（A）A.480B.493C.495D.4984.在14与之间插入n个数，使这n+2个数组成等比数列，若各项的和为,则此数列的项数为（B）A.4B.5C.6D.75.在等比数列｛an｝中，公比q=2,log2a1+log2a2+…+log2a10=25,则a1+a2+…+a10=.6.已知等比数列｛an｝的各项均为正数，Sn＝80，S2n＝6560，且在前n项中最大项为54，求此数列的公比q和项数n.【解】由S2n≠2Sn知，q≠1②÷①得：1＋qn＝82，即qn＝81③∴q＞1则a1qn－1＝54④③÷④得:，即a1＝q⑤将③、⑤代入①得q＝3∴n＝47.一个有穷等比数列的首项为1，项数为偶数，其奇数项之和为85，偶数项之和为170，求这个数列的公比及项数.【解】设此数列的公比为q,项数为2n.由题意得：q=2,2n=8故此数列的公比为2，项数为8.根据已知①②【师生互动】学生质疑教师释疑
