听课随笔第10课时等比数列的概念和通项公式【学习导航】知识网络学习要求1.进一步体会等比数列是用来刻画一类离散现象的重要数学模型,理解等比数列的概念，2.掌握等比数列的通项公式,并能运用公式解决一些简单的实际问题.【自学评价】1．如果an≠0，且an+12=anan+2对任意的n∈N*都成立，则数列{an}是等比数列.2．等比数列的递增和递减性.在等比数列{an}中(1)若a1＞0，q＞1或a1＜0，0＜q＜1则数列递增，(2)若a1＞0,0＜q＜1,或a1＜0，q＞1,则数列递减；(3)若q=1，则数列为常数列；(4)若q＜0，则数列为摆动数列.3．对于k、l、m、n∈N*，若，则akal=aman.；【选修延伸】【例1】（１）在等比数列{an}中，是否有a2n＝an-1an+1（ｎ≥２）？（２）如果数列{an}中，对于任意的正整数ｎ（ｎ≥２），都有a2n＝an-1an+1，那么，{an}一定是等比数列吗？【解】（１）因为{an}是等比数列，所以∴成立．（2）不一定．例如对于数列０，０，０，…，总有a2n＝an-1an+1，但这个数列不是等比数列．【例2】如图，一个边长为１的正三角形，将每边三等分，以中间一段为边向形外作正三角形，并擦去中间一段，得图（２），如此继续下去，得图（３）……试求第ｎ个图形的边长和周长．【解】这序列图形的边数构成的数列为：它们的边长构成的数列为：.∴第个图形的周长为追踪训练一１．三个数成等比数列，它们的积等于２７，它们的平方和等于９１，求这三个数．【答案】这三个数为1，3，9或-1，3，-9或9，3，1或-9，3，-1２．如图，在边长为１的等边三角形ＡＢＣ中，连结各边中点得△Ａ１Ｂ１Ｃ１，再连结△Ａ１Ｂ１Ｃ１各边中点得△Ａ２Ｂ２Ｃ２……如此继续下去，试证明数列Ｓ△ＡＢＣ，Ｓ△Ａ１Ｂ１Ｃ１，Ｓ△Ａ２Ｂ２Ｃ２，…是等比数列．【答案】以为首项，为公比的等比数列3．在等比数列{an}中，如果a6=6,a9=9，那么a3等于(A)A.4B.C.D.24.等比数列{an}的公比为2，则的值为(A)A.B.C.D.1【选修延伸】【例3】数列满足，①求证是等比数列；②求数列的通项公式。【解】①证明：又故是等比数列②解：是等比数列，且听课随笔故【例4】在等比数列｛an｝中，已知a4a7＝－512，a3＋a8＝124，且公比为整数，求a10.【解】由a4a7＝－512知，a3a8＝－512解方程组且q为整数得(舍去)q＝∴a10＝a3q7＝－4(－2)7＝512.【点评】充分地利用等比数列的性质，灵活地使用等比数列的通项公式，能使解题的过程简捷明快.追踪训练二1．已知等比数列中a3=－4,a6=54,则a9=－729.2．将20，50，100这三个数加上相同的常数，使它们成为等比数列，则其公比是3．在等比数列{an}中各项都是正数，a6a10+a3a5=41，a4a8=4,则a4+a8=__7____.4．在和n+1之间插入n个正数，使这n+2个数依次成等比数列，求所插入的n个数之积.【解】设等比数列｛an｝的公比为q，∵a1=,an+2=n+1,∴=n+1,qn+1=n(n+1),∵a2·a3·…·an＋1＝a1nq1＋2＋3＋…＋n＝a1n=(=，即插入的n个数之积为.5．已知各项都为正数的等比数列{an}中，a1a5－2a3a5+a3a7=36，a2a4+2a2a6+a4a6=100，求数列的通项公式.【解】由已知条件a1a5－2a3a5+a3a7=36,a2a4+2a2a6+a4a6=100知∴即①或②解①得a3=8,a5=2∴q==,an=a3()n－3=()n－6解②得:a3=2,a5=8q==2,an=a3(2)n－3=2n－2【师生互动】学生质疑教师释疑
