函数的单调性一.课题:函数单调性二.教学目的:1.使学生理解增函数、减函数的概念;2.使学生掌握判断某些函数增减性的方法;3.培养学生利用数学概念进行判断推理的能力;4.培养学生数形结合、辩证思维的能力;5.养成细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯。三.教学重点:函数单调性的概念四.教学难点:函数单调性的判断和证明五.教学过程:(一)复习:(提问)1.上节课我们学习了函数的概念,同学们回忆一下:(1)函数有几个要素?各是什么?(2)函数的定义域怎样确定?怎样表示?(3)函数的表示方法常见的有几种?各有什么优点?前面我们学习了函数的概念、表示方法以及区间的概念,现在我们来研究一下函数的性质(导入课题,板书课题)。2.观察函数的图像:(当x增加的时候,y的变化怎样?)函数2yx的图像在y轴右侧的部分是上升的,说明什么?(随着x的增加,y值在增加),3yx又怎样?(二)新课讲解:1.单调函数的定义(1)单调递增函数的定义:一般地,设函数()fx的定义域为I:如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值1x、2x,当1x2x时都有12()()fxfx,那么就说用心爱心专心()fx在这个区间上是增函数。(2)单调减函数的定义:如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值1x、2x,当1x2x时都有12()()fxfx,那么就说()fx在这个区间上是减函数。(3)单调性:如果函数()yfx在某个区间是增函数或减函数。那么就说函数()yfx在这一区间具有(严格的)单调性,这一区间叫做()yfx的单调区间。在单调区间上增函数的图像是上升的,减函数的图像是下降的。说明:(1)函数的单调性是在函数的定义域或其子区间上的性质;(2)函数的单调性是对某个区间而言的,在某一点上不存在单调性;(3)函数单调性的定义中,实际上含有两层意思:①对于任意的1x,2xM,若12xx,有12()()fxfx,则称()fx在M上是增函数;②若()fx在M上是增函数,则当12xx时,就有12()()fxfx.2.例题分析例1:(课本59P例1)下图是定义在]5,5[上的函数)(xfy的图像,根据图像说出单调区间,以及在每一个区间上函数()yfx的单调性。解:函数)(xfy的单调区间有)2,5[,)1,2[,)3,1[,]5,3[,其中)(xfy在)1,2[,]5,3[上是增函数,在)2,5[,)3,1[上是减函数。说明:要了解函数在某一区间上是否具有单调性,从图上进行观察是一种常用而又粗略的方法,严格地说,它需要根据单调函数的定义进行证明。用心爱心专心O55y)(xfy13x212例2.证明函数1()fxx在(0,)上是减函数。证明:设任意1x,2x∈(0,+∞)且12xx,则2112121211()()xxfxfxxxxx,由1x,2x∈(0,+∞),得120xx,又12xx,得210xx,∴12()()0fxfx,即12()()fxfx所以,1()fxx在(0,)上是减函数。说明:(1)一个函数的两个单调区间是不可以取其并集,比如:xy1在)0,(上是单调递减的,并且在),0(上也是单调递减的,只能说)0,(和),0(是函数xy1的两个单调递减区间,不能说)0,(),0(是原函数的单调递减区间;(2)通过观察图像,对函数是否具有某种性质做出一种猜想,然后通过推理的办法,证明这种猜想的正确性,是发现和解决问题的一种常用数学方法;(3)判定或证明函数在某个区间上的单调性的方法步骤:①取值:在给定区间上任取两个值1x,2x,且12xx;②作差变形:作差12()()fxfx,通过因式分解、配方、分母有理化等方法变形;③定号:判断上述差12()()fxfx的符号,若不能确定,则可分区间讨论;④结论:根据差的符号,得出单调性的结论。六.练习:1.证明函数221()fxxx在(0,1]上是减函数。用心爱心专心2.根据单调函数的定义,判断函数3()1fxx的单调性。3.根据单调函数的定义,判断函数()fxx的单调性。七.小结:1.单调函数的定义;2.根据函数单调性判断函数单调性的方法;用心爱心专心