高中数学选修本(理科)函数的最大值和最小值VIP专享VIP免费

函数的最大值和最小值一、学习目标理解极值与最值的区别联系，会求某些函数的最值，会运用最值知识解决一些实际问题．二、重点难点本节重点：最值定义及求最值步骤本节难点：极值是局部性概念，最大（小）值可以看作整体性概念.三、典型例题1．怎样求函数的最大、最小值．例1求f（x）＝x3－3x2－9x＋5在[－4，4]上的最大值和最小值．【解】f′(x)＝3x2－6x－9＝3（x＋1）（x－3）令f′(x)＝0得x1＝－1，x2＝3f″(x)＝6x－6f″(－1)＝－12＜0；f″(3)＝12＞0∴f（x）在x＝－1处有极大值f（－1）＝10f（x）在x＝3处有极小值f（3）＝－22在区间端点处f（－4）＝－71，f（4）＝－15比较上述结果得：f（x）在[－4，4]上的最大值为f（－1）＝10，最小值为f（－4）＝－71．【点评】求在闭区间上的最大最小值：①求出导数为0的点和导数不存在的点，②求出导数为0的点和导数不存在的点及端点的函数值，③直接比较它们的大小．2．怎样求解应用题的最大最小值问题？例2已知矩形的两个顶点位于x轴上，另两个顶点位于抛物线y＝4－x2在x轴上方的曲线上求这种矩形中面积最大者的边长．【解】设位于抛物线上的矩形的一个顶点为（x，y），且x＞0，y＞0，则另一个在抛物线上的顶点为（－x，y），在x轴上的两个顶点为（－x，0）、（x，0），其中0＜x＜2．设矩形的面积为S，则S＝2x（4－x2），0＜x＜2．由S′（x）＝8－6x2＝0，得x＝，易知x＝是S在（0，2）上的极值点，即是最大值点，所以这种矩形中面积最大者的边长为和．【点评】应用题求解，要正确写出目标函数并明确题意所给的变量制约条件．应用题的分析中如确定有最小值，且极小值唯一，即可确定极小值就是最小值．例3一书店预计一年内要销售某种书15万册，欲分几次订货，如果每次订货要付手续费30元每千册书存放一年要耗库费40元，并假设该书均匀投放市场，问此书店分几次进货、每次进多少册，可使所付的手续费与库存费之和最少？【解】假设每次进书x千册，手续费与库存费之和为y元，用心爱心专心115号编辑由于该书均匀投放市场，则平均库存量为批量之半，即，故有y＝×30＋×40，y′＝－＋20，令y′＝0，得x＝15，且y″＝，f″(15)＞0，所以当x＝15时，y取得极小值，且极小值唯一，故当x＝15时，y取得最小值，此时进货次数为＝10（次）．即该书店分10次进货，每次进15000册书，所付手续费与库存费之和最少．【点评】本题应用了二阶导数判定极小值．又由于极小值唯一，即为最小值．例4有甲、乙两城，甲城位于一直线形河岸，乙城离岸40千米，乙城到岸的垂足与甲城相距50千米，两城在此河边合设一水厂取水，从水厂到甲城和乙城的水管费用分别为每千米500元和700元，问水厂应设在河边的何处，才能使水管费用最省？【解】设水厂D点与乙城到岸的垂足B点之间的距离为x千米，总费用为y元，则CD＝．y＝500（50－x）＋700＝25000－500x＋700，y′＝－500＋700·(x2＋1600)·2x＝－500＋，令y′＝0，解得x＝．答：水厂距甲距离为50－千米时，总费用最省．【点评】当要求的最大（小）值的变量y与几个变量相关时，我们总是先设几个变量中的一个为x，然后再根据条件x来表示其他变量，并写出y的函数表达式f（x）．用心爱心专心115号编辑