8.2双曲线巩固·夯实基础一、自主梳理1.双曲线的定义第一定义：平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值是常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距.即||MF1|-|MF2||=2a(<|F1F2|).M为动点，F1、F2为定点，a为常数.第二定义：平面内到定点F的距离和到定直线的距离的比等于常数(大于1)的点的轨迹叫做双曲线，即=e(e>1).F为直线l外一定点，动点到定直线的距离为d，e为大于1的常数.2.双曲线的标准方程与几何性质标准方程-=1(a>0,b>0)-=1(a>0,b>0)简图中心O(0,0)O(0,0)顶点A1(-a,0),A2(a,0)A1(0,a),A2(0,-a)范围|x|≥a|y|≥a焦点F1(-c,0),F2(c,0)F1(0,-c),F2(0,c)准线x=±y=±渐近线y=±xy=±x3.焦半径公式M(x0,y0)为-=1右支上的点，则|MF1|=ex0+a，|MF2|=ex0-a.链接·拓展(1)当M(x,y)为-=1左支上的点时,|MF1|=-(a+ex),|MF2|=ex-a.(2)当M(x,y)为-=1上支上的点时，|MF1|=ey0+a，|MF2|=ey0-a.二、点击双基用心爱心专心11.双曲线-=1的渐近线方程是（）A.y=±xB.y=±xC.y=±xD.y=±x解析：由双曲线方程可得焦点在x轴上,a=2,b=3.∴渐近线方程为y=±x=±x.答案：A2.过点(2，-2)且与双曲线-y2=1有公共渐近线的双曲线方程是（）A.-=1B.-=1C.-=1D.-=1解析：可设所求双曲线方程为-y2=λ，把(2，-2)点坐标代入方程得λ=-2.答案：A3.如果双曲线-=1上一点P到它的右焦点的距离是8，那么P到它的右准线的距离是（）A.10B.C.2D.解析：利用双曲线的第二定义知P到右准线的距离为=8×=.答案：D4.与圆A:(x+5)2+y2=49和圆B：(x-5)2+y2=1都外切的圆的圆心P的轨迹方程为_______________________________________.解析：利用双曲线的定义.答案：-=1(x＞0)5.已知圆C过双曲线-=1的一个顶点和一个焦点，且圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是.解析：由双曲线的几何性质易知圆C过双曲线同一支上的顶点和焦点，所以圆C的圆心的横坐标为4.故圆心坐标为(4,±).易求它到中心的距离为.答案：诱思·实例点拨【例1】求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)焦距为16，准线方程为y=±;(2)虚轴长为12，离心率为;(3)顶点间的距离为6，渐近线方程为y=±x.用心爱心专心2剖析：要求双曲线的标准方程，首先判断其焦点所在的坐标轴，然后求其标准方程中待定的a和b.解：(1)由准线方程为y=±，可知双曲线的焦点在y轴上.设所求双曲线的方程为-=1(a>0,b>0).由题意，得解得a=6,c=8.所以b2=c2-a2=64-36=28.因此，所求双曲线的方程为-=1.(2)当焦点在x轴上时，设所求双曲线的方程为-=1.由题意，得解得b=6,c=a.∴b2=c2-a2=a2=36,a=8.所以焦点在x轴上的双曲线的方程为-=1.同理可求焦点在y轴上的双曲线的方程为-=1.因此，所要求的双曲线的方程为-=1和-=1.(3)方法一：当焦点在x轴上时，设所求双曲线的方程为-=1.由题意，得解得a=3,b=.所以焦点在x轴上的双曲线的方程为-=1.同理可求焦点在y轴上的双曲线的方程为-=1.因此所求双曲线方程为-=1或-=1.方法二：设双曲线方程为-=λ(λ≠0).当λ>0时，2=6,∴λ=.此时双曲线的方程为-=1.用心爱心专心3当λ<0时，2-=6,∴λ=-1.此时双曲线方程为-=1.讲评：本题考查双曲线方程，关键是求a、b,在解题过程中应熟悉各元素(a、b、c、e及准线)之间的关系，并注意方程思想的应用.若已知双曲线的渐近线方程ax±by=0，可设双曲线方程为a2x2-b2y2=λ(λ≠0).但要注意双曲线的焦点在哪条坐标轴上，不要漏解.【例2】设点P到点M(-1,0)、N(1,0)距离之差为2m,到x轴、y轴距离之比为2,求m的取值范围.剖析：由|PM|-|PN|=2m,得||PM|-|PN||=2|m|.知点P的轨迹是双曲线,由点P到x轴、y轴距离之比为2,知点P的轨迹是直线,由交轨法求得点P的坐标,进而可求得m的取值范围.解：设点P的坐标为(x,y),依题意得=2,即y=±2x(x≠0).①因此,点P(x,y)、M(-1,0)、N(1,0)三点不共线,得||PM|-|PN||<|MN|=2. ||PM|-|PN||=2|m|>0,∴0<|m|<1.因此,点P在以M、N为焦点,实轴长为2|m|的双曲线上.故-=1.②将①代入②,并解得x2=, 1-m2>0,∴1-5m2>0.解得0<|m|<,即m的取值范围为(-,0)∪(0,).讲评：本题考查了双曲线的定义、标准方程等基本知识,考查了逻辑思维能力及分析问题、解决问题的能力.解决...
