多面体欧拉定理的发现(1)一、课题：多面体欧拉定理的发现二、教学目标：1．了解简单多面体的概念；2．掌握欧拉定理．三、教学重、难点：欧拉定义及其证明．四、教学过程：（一）欧拉生平事迹简说：欧拉(Euler)，瑞士数学家及自然科学家。1707年4月15日出生于瑞士巴塞尔的一个牧师家庭，自幼受父亲的教育，13岁入读巴塞尔大学15岁大学毕业，16岁获硕士学位，1783年9月18日于俄国彼得堡去逝．（二）新课讲解：1．简单多面体：考虑一个多面体，例如正六面体，假定它的面是用橡胶薄膜做成的，如果充以气体，那么它就会连续（不破裂）变形，最后可变为一个球面．如图：象这样，表面经过连续变形可变为球面的多面体，叫做简单多面体．说明：棱柱、棱锥、正多面体等一切凸多面体都是简单多面体．2．填表：将五种正多面体的顶点数、面数及棱数分别填表：正多面体顶点数面数棱数正四面体446正六面体8612正八面体6812正十二面体201230正二十面体122030发现：它们的顶点数、面数及棱数有共同的关系式：．上述关系式对简单多面体都成立．3．欧拉定理：简单多面体的顶点数、面数及棱数有关系式：．（欧拉公式）4．定理的证明：（方法一）以四面体为例来说明：将它的一个面去掉，并使其变为平面图形，四面体的顶点数、棱数与剩下的面数变形后都没有变。因此，要研究、和的关系，只要去掉一个面，将它变形为平面图形即可．对平面图形，我们来研究：（1）去掉一条棱，就减少一个面。例如去掉，就减少一个面．同理，去掉棱、，也就各减少一个面、．由于、的值都不变，因此的值也不变．用心爱心专心115号编辑ABCDEABCDE（2）再从剩下的树枝形中，去掉一条棱，就减少一个顶点。例如去掉，就减少一个顶点．同理，去掉就减少一个顶点，最后剩下（如图）．在此过程中的值不变，但这时面数是，所以的值也不变。由于最后只剩下，所以，最后加上去掉的一个面，就得到．（方法二）把“立体图”的面煎掉后，其余各面铺开。展开后，各面的棱数和顶点数没有变，而多边形内角和只与边数有关，所以多面体各个面内角总和不变。设多面体个面，各面边数分别为，，…，，则内角总和为，设多面体有个顶点，底面是边形，则“展开图”有个顶点在中间，则内角总和为，∴，又∵，∴．5．欧拉示性数：在欧拉公式中令，叫欧拉示性数。说明：（1）简单多面体的欧拉示性数．（2）带一个洞的多面体的欧拉示性数．例如：长方体挖去一个洞连结底面相应顶点得到的多面体．6．例题分析：例1．一个面体共有8条棱，5个顶点，求？解：∵，∴，∴．例2．一个正面体共有8个顶点，每个顶点处共有三条棱，求？解：∵，，∴，∴．五、课堂练习：课本第69页习题第4题．六、小结：欧拉定理及其证明．七、作业：课本第69页习题9.10第1题．用心爱心专心115号编辑ADBCEABCDE用心爱心专心115号编辑
