二项式定理一、内容归纳1．知识精讲：（1）二项式定理：（）其通项是（r=0,1,2,……,n），知4求1，如：亦可写成：（）特别地：（）其中，——二项式系数。而系数是字母前的常数。（2）二项展开式系数的性质：①对称性,在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即②增减性与最大值：在二项式展开式中，二项式系数先增后减，且在中间取得最大值。如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大，即偶数：；如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并且最大，即。③所有二项式系数的和用赋值法可以证明等于即；奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等，即（3）二项式定理的应用：近似计算和估计、证不等式，如证明：取的展开式中的四项即可。2．重点难点:二项式定理，和二项展开式的性质。3．思维方式:一般与特殊的转化，赋值法的应用。4．特别注意:①二项式的展开式共有n+1项，是第r+1项。②通项是（r=0,1,2,……,n）中含有五个元素，只要知道其中四个即可求第五个元素。③注意二项式系数与某一项系数的异同。④当n不是很大，||比较小时可以用展开式的前几项求的近似值。二、问题讨论例1．（1）等于（）用心爱心专心115号编辑A．B。C。D.（2）若为奇数，则被9除得的余数是（）A．0B。2C。7D.8解：（1）设，于是：=故选D（2）=因为为奇数，所以原式=所以，其余数为7，选C例2．（1）(优化设计P179例1)如果在的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中的有理项。（2）(优化设计P179例2)求的展开式的常数项。（3）在的展开式中，求的系数（即含的项的系数）解：（1）展开式中前三项的系数分别为1，，，由题意得：2×=1+得=8。设第r+1项为有理项，，则r是4的倍数，所以r=0，4，8。有理项为。【思维点拨】求展开式中某一特定的项的问题时，常用通项公式，用待定系数法确定r。（2）法一：，其展开式的通项为，令得所以，常数项为法二：解析：=得到常数的情况有：①三个括号用心爱心专心115号编辑中全取-2，得（-2）3②一个括号取，一个括号取，一个括号取-2，得=-12，因此常数项为-20。（3）=含的项为,即含的项的系数为240【思维点拨】密切注意通项公式的使用。练习：(优化设计P180思考讨论)（1）在的展开式中，求的系数。（2）求的展开式中的常数项。（3）求…的展开式中的系数。解:（1）原式=,展开式中的系数为（2）=，展开式中的常数项为（3）方法一：原式=的系数为。方法二：展开式中的系数为：………例3(优化设计P180例3)、设an＝1＋q＋q2＋…＋qn－1(n∈N*，q≠±1)，An＝C1na1＋C2na2＋…＋Cnnan.(1)用q和n表示An(2)当时,求解：∵q≠1，∴an＝qqn11.∴An＝C1na1＋C2na2＋…＋Cnnan＝qq11C1n＋qq112C2n＋…＋qqn11Cnn＝q11[(C0n＋C1n＋C2n＋…＋Cnn)－(C0n＋qC1n＋q2C2n＋…＋qnCnn)]＝用心爱心专心115号编辑(2)因为且q≠1，所以所以=【思维点拨】：本题逆用了二项式定理及C0n＋C1n＋…＋Cnn＝2n，这些重要的数学模型常常运用于解题过程中.例4、若=，求（1）―的值。（2）的值。【解析】：（1）在使用赋值法前，应先将变形为：―=才能发现应取什么特殊值：令=―1，则=令=1则=因此：―=·==1（2）因为==，而所以，=―16【思维点拨】用赋值法时要注意展开式的形式。思考题：设则―解:所以,―=0备用题：例5已知。（1）若展开式中第5项、第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大项的系数。（2）若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项。用心爱心专心115号编辑【解】（1）∵∴=7或=14。当=7时，展开式中二项式系数最大的项是T4和T5T4的系数=；T5的系数=当=14时展开式中二项式系数最大是项是T8，T8的系数=。（2）由=79，可得=12，设顶的系数最大。∵，∴，∴9.4<<10.4即=10，故展开式中系数最大的项为T11。【思维点拨】二项式系数与展开式某一项系数是不同的概念。例6：当且>1，求证证明:从而【思维点拨】这类是二项式定理的应用问题，它的取舍根据题目而定。三、课堂小结：1、二项式定理及二项式系数的性质。通项公式。2、要取分二项式系数与展开式项的系数的异同。3、证明组合恒等式常用赋值法。四、作业布置优化设计P180用心爱心专心115号编辑
