高中数学用二分法求方程的近似解教案1(1)新课标 人教版 必修1(A)VIP免费

用二分法求方程的近似解●对于方程lgx=3x，要求出这个方程的解是较为困难的．但是，我们能否求出这个方程的近似解呢？让我们先从熟悉的一元二次方程开始研究．画出函数f(x)=x22x1的图象，如图2-5-3所示．从图象上可以发现，方程x22x1=0的一个根x1在区间（2，3）内，另一个根x2在区间（1，0）内．根据图象，我们发现f(2)=1<0，f(3)=2>0，这表明此函数图象在区间（2，3）上穿过x轴一次，即方程f(x)=0在区间（2，3）上有惟一解．计算得f()=>0，发现x1(2，2.5)（如图），这样可以进一步缩小x1所在的区间．你能把此方程的一个根x1限制在更小的区间内吗？利用计算器，求方程x22x1=0的一个近似解（精确到0.1）．解设f(x)=x22x1，先画出函数图象的简图，如图2-5-3．因为f(2)=1<0，f(3)=2>0，所以在区间（2，3）内，方程x22x1=0有一解，记为x1．取2与3的平均数2.5，因为f(2.5)=0.25>0，所以20x1(2,3)，f(2)<0，f(2.5)>0x1(2,2.5)，f(2.25)<0，f(2.5)>0x1(2.25,2.5)，f(2.375)<0，f(2.5)>0x1(2.375,2.5)，f(2.375)<0，f(2.4375)>0x1(2.375,2.4375)，因为2.375与2.4375精确到0.1的近似值都为2.4，所以此方程的近似解为x12.4．利用同样的方法，还可以求出方程的另一个近似解．在上面的计算过程中，需反复计算x22x1，以判断结果的正负，用下面的方法可以提高计算效率：（1）给变量x赋值，如x=2，按键顺序是（2）计算x22x1，按键顺序是用心爱心专心116号编辑例1图中负号“”表示此点所对应的函数值为负，正号“+”表示此点所对应的函数值为正。图2-5-3yx213O2241x2x132x12+32f(2)<0f()>02+32思考CALCULATORALPHAXx22ALPHAX1=SHIFTSTOX223+23+23+2.5+2.52.25232.52.375+232.52.3752.252.4375（3）重复计算，如计算x=3时x22x1的值，按（1）的步骤给x赋值3，按，出现算式x22x1，再按下即可．像上面这种求方程近似解的方法称为二分法（bisectionmethod）．它是求一元方程近似解的常用方法．运用二分法的前提是要先判断某根所在的区间．利用计算器，求方程lgx=3x的近似解（精确到0.1）．解分别画出y=lgx和y=3x的图象，如图2-5-4（1）所示．在两个函数图象的交点处，函数值相等．因此，这个点的横坐标就是方程lgx=3x的解．由函数y=lgx与y=3x的图象可以发现，方程lgx=3x有惟一解，记为x1，并且这个解在区间（2，3）内．设f(x)=lgx+x3，用计算器计算，得f(2)<0，f(3)>0x1(2,3)，f(2.5)<0，f(3)>0x1(2.5,3)，f(2.5)<0，f(2.75)>0x1(2.5,2.75)，f(2.5)<0，f(2.625)>0x1(2.5,2.625)，f(2.5625)<0，f(2.625)>0x1(2.5625,2.625)。因为2.5625与2.625精确到0.1的近似值都为2.6，所以原方程的近似解为x12.6．将原方程写成x=3lgx，取x1=2，用计算器计算，则3lgx12.69897→x2，再将x2=2.69897代入3lgx2得x3，如此循环计算9次后，你发现了什么？用计算器反复计算3lgx的方法是（CASIOfx-82MS）：（1）取初始值2：按键顺序为（2）输入表达式：（3）重复按．对于方程0.84x=0.5，我们画出函数y=0.84x与y=0.5的图象，可以发现方程0.84x=0.5的解在区间（3，5）内，然后利用上述二分法可以求得方程0.84x=0.5的近似解为x4．这里给出了第2.5节开头的问题的答案．用心爱心专心116号编辑例2图2-5-41234123yOxy=3xy=lgx（1）（2）-2-101234-1012345y=3-xy=lgx思考练习▲=按键能重新显示上次的算式．▲2323+2.5+2.52.75232.52.625+232.56252.625+2.5CALCULATOR按键能调出答案存储器中的内容．Ans2=3Ans=log=1．试判别方程x2+3x1=0在区间（0，1）内是否有解．2．用自己的语言叙述二分法求方程近似解的基本步骤．用心爱心专心116号编辑