从速度的倍数到数乘向量一、教学目标:1.知识与技能(1)要求学生掌握实数与向量积的定义及几何意义.(2)了解数乘运算的运算律,理解向量共线的充要条件。(3)要求学生掌握平面向量的基本定理,能用两个不共线向量表示一个向量;或一个向量分解为两个向量。(4)通过练习使学生对实数与积,两个向量共线的充要条件,平面向量的基本定理有更深刻的理解,并能用来解决一些简单的几何问题。2.过程与方法:教材利用同学们熟悉的物理知识引出实数与向量的积(强调:1.“模”与“方向”两点)2.三个运算定律(结合律,第一分配律,第二分配律)),在此基础上得到数乘运算的几何意义;通过正交分解得到平面向量基本定理(定理的本身及其实质)。为了帮助学生消化和巩固相应的知识,教材设置了几个例题;通过讲解例题,指导发现知识结论,培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力.3.情感态度价值观通过本节内容的学习,使同学们对实数与向量积以及平面向量基本定理有了较深的认识,让学生理解和领悟知识将各学科有机的联系起来了,这样有助于激发学生学习数学的兴趣和积极性,有助于培养学生的发散思维和勇于创新的精神.二.教学重、难点重点:1.实数与向量积的定义及几何意义.2.平面内任一向量都可以用两个不共线非零向量表示难点:1.实数与向量积的几何意义的理解.2.平面向量基本定理的理解.三.学法与教学用具学法:(1)自主性学习+探究式学习法:(2)反馈练习法:以练习来检验知识的应用情况,找出未掌握的内容及其存在的差距.教学用具:电脑、投影机.四.教学设想【探究新知】1.思考:(引入新课)已知非零向量a作出a+a+a和(a)+(a)+(a)用心爱心专心aaaOABCaaaaNMQPOC=BCABOA=a+a+a=3aPN=MNQMPQ=(a)+(a)+(a)=3a讨论:①3a与a方向相同且|3a|=3|a|②3a与a方向相反且|3a|=3|a|2.从而提出课题:实数与向量的积;实数λ与向量a的积,记作:λa定义:实数λ与向量a的积是一个向量,记作:λa①|λa|=|λ||a|②λ>0时λa与a方向相同;λ<0时λa与a方向相反;λ=0时λa=0(请学生自己解释其几何意义)[展示投影]例题讲评(学生先做,学生评,教师提示或适当补充)例1.(见P96例1)略[展示投影]思考:根据几何意义,你能否验证下列实数与向量的积的是否满足下列运算定律(证明的过程可根据学生的实际水平决定)结合律:λ(μa)=(λμ)a①第一分配律:(λ+μ)a=λa+μa②第二分配律:λ(a+b)=λa+λb③结合律证明:如果λ=0,μ=0,a=0至少有一个成立,则①式成立如果λ0,μ0,a0有:|λ(μa)|=|λ||μa|=|λ||μ||a||(λμ)a|=|λμ||a|=|λ||μ||a|∴|λ(μa)|=|(λμ)a|如果λ、μ同号,则①式两端向量的方向都与a同向;如果λ、μ异号,则①式两端向量的方向都与a反向。从而λ(μa)=(λμ)a第一分配律证明:用心爱心专心如果λ=0,μ=0,a=0至少有一个成立,则②式显然成立如果λ0,μ0,a0当λ、μ同号时,则λa和μa同向,∴|(λ+μ)a|=|λ+μ||a|=(|λ|+|μ|)|a||λa+μa|=|λa|+|μa|=|λ||a|+|μ||a|=(|λ|+|μ|)|a| λ、μ同号∴②两边向量方向都与a同向即:|(λ+μ)a|=|λa+μa|当λ、μ异号,当λ>μ时②两边向量的方向都与λa同向当λ<μ时②两边向量的方向都与μa同向还可证:|(λ+μ)a|=|λa+μa|∴②式成立第二分配律证明:如果a=0,b=0中至少有一个成立,或λ=0,λ=1则③式显然成立当a0,b0且λ0,λ1时1当λ>0且λ1时在平面内任取一点O,作OA=aAB=b1OA=λa11BA=λb则OB=a+b1OBλa+λb由作法知:AB∥11BA有OAB=OA1B1|AB|=λ|11BA|∴||||||||111ABBAOAOAλ∴△OAB∽△OA1B1∴||||1OBOBλAOB=A1OB1用心爱心专心OABB1A1因此,O,B,B1在同...