讲义13数列的概念一、基本知识体系：1、数列：是特殊的函数，是建立在N*或N*的子集上的函数，所以，处理数列问题时，要注意运用函数的有关性质。2、数列的通项公式：数列{an}的第n项an与n之间的一个函数关系表达式。3、求数列的通项公式：①、Sn与an之间的相互转化：an=要特别注意讨论n=1的情况。②、由数列的递推关系式去求通项公式：（1）、形如an+1=an+（n)时常用累加法去解决：例如在数列{an}中，a1=1；an+1=an+2n；（答案为an=2n-1);（2）、形如an+1=（n)·an时常用累乘法去解决：例如在数列{an}中，a1=4；an+1=an；（答案为an=2n(n+1)；（3）、形如an+1=c·an+d（c、d为常数时）常构造转化为一个等比数列去解决：如在数列{an}中，a1=3；an+1=2an+1；（答案为an=2n+1-1);（4）、形如an+1=p·anr(p、r为常数时）常用两边取对数的方法去解决：例如在数列{an}中，a1=3；an+1=3an2；（答案为an=);二、典例剖析：★【题1】已知数列满足，则=（）A．0B．C．D．●[解析]:由a1=0,得a2=-由此可知:数列{an}是周期变化的,且三个一循环,所以可得:a20=a2=-故选B.★【题2】在数列中，若，，则该数列的通项2n-1。●解：由可得数列为公差为2的等差数列，又，所以2n－1★【题3】已知数列{an}，满足a1=1，an=a1+2a2+3a3+…+(n－1)an－1(n≥2)，则{an}的通项1,n=1,an=,n≥2.(答案:)★【题4】已知数列，且a2k=a2k－1+(－1)K,a2k+1=a2k+3k,其中k=1,2,3,…….（I）求a3,a5；（II）求{an}的通项公式.1解：（I）a2=a1+(－1)1=0,a3=a2+31=3.a4=a3+(－1)2=4,a5=a4+32=13,所以，a3=3,a5=13.(II)a2k+1=a2k+3k;=a2k－1+(－1)k+3k,所以a2k+1－a2k－1=3k+(－1)k,同理a2k－1－a2k－3=3k－1+(－1)k－1,……a3－a1=3+(－1).所以(a2k+1－a2k－1)+(a2k－1－a2k－3)+…+(a3－a1)=(3k+3k－1+…+3)+[(－1)k+(－1)k－1+…+(－1)],由此得a2k+1－a1=(3k－1)+[(－1)k－1],于是a2k+1=a2k=a2k－1+(－1)k=(－1)k－1－1+(－1)k=(－1)k=1.{an}的通项公式为：当n为奇数时，an=当n为偶数时，★【题5】设数列{an}的前n项和为Sn，Sn=(对于所有n≥1)，且a4=54，则a1的数值是____________________2___.★【题6】设数列的前n项和为，点均在函数y＝3x－2的图像上。（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，是数列的前n项和，求使得对所有都成立的最小正整数m。●解：（I）依题意得，即。当n≥2时，;当n=1时，×-2×1-1-6×1-5所以。（II）由（I）得，故=。因此，使得﹤成立的m必须满足≤，即m≥10,故满足要求的最小整数m为10。★【题7】在等差数列中，，前项和满足条件，（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）记，求数列的前项和。●解：（Ⅰ）设等差数列的公差为,由得：，所以，即，2又＝，所以。（Ⅱ）由，得。所以，当时，；当时，，即。★【题8】已知各项均为正数的数列，满足：，且，．（1）求数列的通项公式；（2）设，，求，并确定最小正整数，使为整数．●解：（1）条件可化为，因此｛｝为一个等比数列，其公比为2，首项为，所以＝…………1;因an0，由1式解出an＝…………2;（2）由1式有Sn＋Tn＝＝＝为使Sn＋Tn＝为整数，当且仅当为整数.当n＝1,2时，显然Sn＋Tn不为整数，当n3时，＝＝;∴只需＝为整数，因为3n－1与3互质，所以为9的整数倍.当n＝9时，＝13为整数，故n的最小值为9.3★【题9】在数列中，若a1，a2是正整数，且,3，4，5，…，则称为“绝对差数列”.（Ⅰ）举出一个前五项不为零的“绝对差数列”（只要求写出前十项）；（Ⅱ）若“绝对差数列”中，,，数列满足；n=1，2，3，…，判断当时,与的极限是否存在，如果存在，求出其极限值；（Ⅲ）证明：任何“绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项.●（Ⅰ）解：,（答案不惟一）（Ⅱ）解：因为在绝对差数列中,.所以自第20项开始，该数列是,,即自第20项开始。每三个相邻的项周期地取值3，0，3.所以当时，的极限；不存在.当时,,所以（Ⅲ）证明：根据定义，数列必在有限项后出现零项.证明如下：假设中没有零项，由于,所以对于任意的n，都有,从而当时,;当时,；即的值要么比至少小1，要么比至少小1.令则由于是确定的正整数，这样减少下去，必然存在某项，这与();矛盾....
