高中数学 第四章 指数函数与对数函数 4.3.1 对数的概念讲义 新人教A版必修第一册-新人教A版高一第一册数学教案VIP专享VIP免费

4．3.1对数的概念知识点对数1．对数的概念(1)定义如果ax＝N(a＞0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN.(2)相关概念①底数与真数其中，a叫做对数的底数，N叫做真数．②常用对数与自然对数通常将以10为底的对数叫做常用对数，并把log10N记作lg_N；以无理数e＝2.71828…为底数的对数称为自然对数，并且把logeN记为lnN.logaN是一个数，是一种取对数的运算，结果仍是一个数，不可分开书写．2．对数与指数间的关系当a＞0，a≠1时，ax＝N⇔x＝logaN.前者叫指数式，后者叫对数式．3．对数的性质性质1零和负数没有对数性质21的对数是0，即loga1＝0(a＞0，且a≠1)性质3底数的对数是1，即logaa＝1(a＞0，且a≠1)指数式、对数式中各个字母的名称变化如下表：式子名称axN指数式ax＝N底数指数幂对数式x＝logaN底数对数真数[教材解难]对数式与指数式的关系(1)对数式是指数式的另一种表达形式，对数运算是指数运算的逆运算，常用符号“log”表示对数．(2)对数的概念中出现了两个等式：指数式ax＝N和对数式x＝logaN，这两个等式是等价的，它们之间的关系如图所示．根据这个关系可以将指数式化成对数式，也可将对数式化成指数式．[基础自测]1．把指数式ab＝N化为对数式是()1A．logba＝NB．logaN＝bC．logNb＝aD．logNa＝b解析：根据对数定义知ab＝N⇔logaN＝b.答案：B2．把对数式loga49＝2写成指数式为()A．a49＝2B．2a＝49C．492＝aD．a2＝49解析：根据指数式与对数式的互化可知，把loga49＝2化为指数式为a2＝49.答案：D3．已知logx16＝2，则x等于()A．±4B．4C．256D．2解析：由logx16＝2可知x2＝16，所以x＝±4，又x＞0且x≠1，所以x＝4.答案：B4．下列各式：①lg(lg10)＝0；②lg(lne)＝0；③若10＝lgx，则x＝10；④由log25x＝，得x＝±5.其中，正确的是________．(把正确的序号都填上)解析：因为lg10＝1，所以lg(lg10)＝lg1＝0，①正确；因为lne＝1，所以lg(lne)＝lg1＝0，②正确；若10＝lgx，则x＝1010，③错误；由log25x＝，得x＝25＝5，④错误．答案：①②题型一指数式与对数式互化[教材P122例1]例1把下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：利用ab＝N⇔logaN＝b(1)54＝625；(2)2－6＝；(3)m＝5.73;(4)log16＝－4；(5)lg0.01＝－2;(6)ln10＝2.303.【解析】(1)log5625＝4；(2)log2＝－6；(3)log5.73＝m；(4)－4＝16；(5)10－2＝0.01；(6)e2.303＝10.教材反思指数式与对数式互化的思路(1)指数式化为对数式将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式．2(2)对数式化为指数式将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式．跟踪训练1将下列指数式与对数式互化：(1)25＝32;(2)－2＝4；(3)log381＝4;(4)log4＝m.解析：(1)log232＝5；(2)log4＝－2；(3)34＝81；(4)m＝4.底数不变，指数与对数，幂与真数相对应．题型二对数基本性质的应用例2求下列各式中的x的值．利用性质logaa＝1，loga1＝0求值．(1)log2(log3x)＝0；(2)log5(log2x)＝1；(3)log(＋1)＝x.【解析】(1)因为log2(log3x)＝0，所以log3x＝1，所以x＝3.(2)因为log5(log2x)＝1，所以log2x＝5，所以x＝25＝32.(3)＝＝＋1，所以log(＋1)＝log(＋1)(＋1)＝1，所以x＝1.方法归纳利用对数性质求值的方法(1)求多重对数式的值的解题方法是由内到外，如求loga(logbc)的值，先求logbc的值，再求loga(logbc)的值．(2)已知多重对数式的值，求变量值，应从外到内求，逐步脱去“log”后再求解．跟踪训练2求下列各式中的x的值．(1)log8[log7(log2x)]＝0；(2)log2[log3(log2x)]＝1.解析：(1)由log8[log7(log2x)]＝0得log7(log2x)＝1，所以log2x＝7，所以x＝27＝128.(2)由log2[log3(log2x)]＝1得log3(log2x)＝2，所以log2x＝32，所以x＝29＝512.3已知多重对数式的值求变量，先外到内，利用性质逐一求值．题型三对数恒等式alogaN＝N(a＞0，且a≠1，N＞0)的应用例3求下列各式的值：(1)2＋3；(2)22＋log2；(3)101＋lg2；(4)e－1＋ln3.【解析】(1)因为2＝3,3＝2，所以原式＝3＋2＝5.(2)原式＝22×2＝4×＝.(3)原式＝10×10lg2＝10×2＝20.(4)原式＝e－1×eln3＝×3＝.化成alogaN＝N形式，再求值．方法归纳利用对数恒...