4.3.2对数的运算知识点一对数的运算性质若a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么：(1)loga(M·N)＝logaM＋logaN，(2)loga＝logaM－logaN，(3)logaMn＝nlogaM(n∈R)．对数的这三条运算性质，都要注意只有当式子中所有的对数都有意义时，等式才成立.例如，log2[(－3)·(－5)]＝log2(－3)＋log2(－5)是错误的．知识点二对数换底公式logab＝(a＞0，a≠1，c＞0，c≠1，b＞0)．特别地：logab·logba＝1(a＞0，a≠1，b＞0，b≠1)．对数换底公式常见的两种变形(1)logab·logba＝1，即＝logba，此公式表示真数与底数互换，所得的对数值与原对数值互为倒数.(2)logNMm＝logNM，此公式表示底数变为原来的n次方，真数变为原来的m次方，所得的对数值等于原来对数值的倍．[教材解难]换底公式的推导设x＝logab，化为指数式为ax＝b，两边取以c为底的对数，得logcax＝logcb，即xlogca＝logcb.所以x＝，即logab＝.[基础自测]1．下列等式成立的是()A．log2(8－4)＝log28－log24B.＝log2C．log28＝3log22D．log2(8＋4)＝log28＋log24解析：由对数的运算性质易知C正确．答案：C2.的值为()A.B．2C.D.解析：原式＝log39＝2.答案：B3．2log510＋log50.25＝()A．0B．11C．2D．4解析：原式＝log5102＋log50.25＝log5(102×0.25)＝log525＝2.答案：C4．已知ln2＝a，ln3＝b，那么log32用含a，b的代数式表示为________．解析：log32＝＝.答案：题型一对数运算性质的应用[教材P124例3]例1求下列各式的值：(1)lg；(2)log2(47×25)．【解析】(1)lg＝lg100＝lg100＝；(2)log2(47×25)＝log247＋log225＝7log24＋5log22＝7×2＋5×1＝19.利用对数运算性质计算．教材反思1．对于同底的对数的化简，常用方法是：(1)“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；(2)“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差)．2．对数式的化简、求值一般是正用或逆用公式，要养成正用、逆用、变形应用公式的习惯，lg2＋lg5＝1在计算对数值时会经常用到，同时注意各部分变形要化到最简形式．跟踪训练1(1)计算：lg＋2lg2－－1＝________.(2)求下列各式的值．①log53＋log5②(lg5)2＋lg2·lg50③lg25＋lg8＋lg5·lg20＋(lg2)2.解析：(1)lg＋2lg2－－1＝lg5－lg2＋2lg2－2＝(lg5＋lg2)－2＝1－2＝－1.(2)①log53＋log5＝log5＝log51＝0.②(lg5)2＋lg2·lg50＝(lg5)2＋(1＋lg5)lg2＝(lg5)2＋lg2＋lg2·lg5＝lg5(lg5＋lg2)＋lg2＝lg5＋lg2＝lg10＝1.③原式＝lg25＋lg8＋lg·lg(10×2)＋(lg2)2＝lg25＋lg4＋(lg10－lg2)(lg10＋lg2)＋(lg2)2＝lg100＋(lg10)2－(lg2)2＋(lg2)2＝2＋1＝3.答案：(1)－1(2)见解析2利用对数运算性质化简求值．题型二对数换底公式的应用[经典例题]例2(1)已知2x＝3y＝a，＋＝2，则a的值为()A．36B．6C．2D.(2)计算下列各式：①log89·log2732.②2lg4＋lg5－lg8－.③64＋lg4＋2lg5.【解析】(1)因为2x＝3y＝a，所以x＝log2a，y＝log3a，所以＋＝＋＝loga2＋loga3＝loga6＝2，所以a2＝6，解得a＝±.又a＞0，所以a＝.(2)①log89·log2732＝·＝·＝·＝.②2lg4＋lg5－lg8－＝lg16＋lg5－lg8－＝lg－＝1－＝.③64＋lg4＋2lg5＝4＋lg(4×52)＝4＋2＝6.【答案】(1)D(2)见解析1.先把指数式化为对数式，再用换底公式，把所求式化为同底对数式，最后用对数的运算性质求值．2．先用换底公式将式子变为同底的形式，再用对数的运算性质计算并约分．方法归纳(1)换底公式中的底可由条件决定，也可换为常用对数的底，一般来讲，对数的底越小越便于化简，如an为底的换为a为底．(2)换底公式的派生公式：logab＝logac·logcb；loganbm＝logab.跟踪训练2(1)式子log916·log881的值为()A.18B.C.D.(2)(log43＋log83)(log32＋log98)等于()A.B.C.D．以上都不对解析：(1)原式＝log3224·log2334＝2log32·log23＝.(2)原式＝·＝·＝×log32＝.答案：(1)C(2)B利用换底公式化简求值．题型三用已知对数表示其他对数3例3已知log189＝a,18b＝5，用a，b表示log3645.解析：方法一因为log189＝a，所以9＝18a.又5＝18b，所以log3645＝log2×18(5×9)＝log2×1818a＋b＝(a＋b)·log2×1818.又因为log2×1818＝＝＝＝＝，所以原式＝.方法二 18b＝5，∴log185＝b....
