4．3.2对数的运算考点学习目标核心素养对数的运算性质掌握对数的运算性质，能运用运算性质进行对数的有关计算数学运算换底公式了解换底公式，能用换底公式将一般对数化为自然对数或常用对数数学运算对数运算的综合问题能灵活运用对数的基本性质、对数的运算性质及换底公式解决对数运算问题数学运算问题导学预习教材P123－P126，并思考以下问题：1．对数具有哪三条运算性质？2．换底公式是如何表述的？1．对数的运算性质如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：(1)loga(MN)＝logaM＋logaN．(2)loga＝logaM－logaN．(3)logaMn＝nlogaM(n∈R)．■名师点拨对数的这三条运算性质，都要注意只有当式子中所有的对数都有意义时，等式才成立．例如，log2[(－3)·(－5)]＝log2(－3)＋log2(－5)是错误的．2．换底公式logab＝(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0)．■名师点拨牢记换底公式的三个常用推论(1)推论一：logac·logca＝1.此公式表示真数与底数互换，所得的对数值与原对数值互为倒数．(2)推论二：logab·logbc·logca＝1.(3)推论三：logambn＝logab.此公式表示底数变为原来的m次方，真数变为原来的n次方，所得的对数值等于原来对数值的倍．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)积、商的对数可以化为对数的和、差．()(2)loga(xy)＝logax·logay.()(3)log2(－5)2＝2log2(－5)．()答案：(1)√(2)×(3)×已知a>0且a≠1，则loga2＋loga＝()A．0B.1C．1D．2答案：A计算log510－log52等于()A．log58B．lg5C．1D．2答案：C(1)lg＝__________；(2)已知lna＝0.2，则ln＝__________．答案：(1)(2)0.8log35·log56·log69＝________．解析：log35·log56·log69＝··＝＝＝2.答案：2对数运算性质的应用计算下列各式：(1)log5；(2)log2(32×42)；(3)log535－2log5＋log57－log5；(4)lg25＋lg8＋lg5·lg20＋(lg2)2.【解】(1)原式＝log525＝log552＝.(2)原式＝log232＋log242＝5＋4＝9.(3)原式＝log5(5×7)－2(log57－log53)＋log57－log5＝log55＋log57－2log57＋2log53＋log57－2log53＋log55＝2log55＝2.(4)原式＝2lg5＋2lg2＋(1－lg2)(1＋lg2)＋(lg2)2＝2(lg5＋lg2)＋1－(lg2)2＋(lg2)2＝2＋1＝3.对数式化简与求值的基本原则和方法(1)基本原则对数式的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行．(2)两种常用的方法①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；②“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差)．计算下列各式的值：(1)lg；(2)log345－log35；(3)(lg5)2＋2lg2－(lg2)2；(4).解：(1)原式＝lg100＝lg100＝×2＝.(2)原式＝log3＝log39＝log332＝2.(3)原式＝(lg5＋lg2)(lg5－lg2)＋2lg2＝lg10(lg5－lg2)＋2lg2＝lg5－lg22＋2lg2＝lg5＋lg2＝1.(4)原式＝＝＝.换底公式的应用计算：(1)log29·log34；(2).【解】(1)由换底公式可得，log29·log34＝·＝·＝4.(2)原式＝×＝log×log9＝×＝×＝－.利用换底公式求值的思想与注意点1．log916·log881的值为()A．18B.C.D.解析：选C.原式＝log3224·log2334＝2log32·log23＝.2.＋＝________．解析：＋＝＋＝＋＝＋＝＝log310.答案：log3103．计算：(log2125＋log425＋log85)·(log52＋log254＋log1258)．解：法一：原式＝(log52＋＋)＝(log52＋＋)＝log25·(3log52)＝13log25·＝13.法二：原式＝(＋＋)＝(＋＋)＝＝13.对数运算中的综合问题已知log189＝a，18b＝5，求log3645(用a，b表示)．【解】因为18b＝5，所以b＝log185.所以log3645＝＝3＝＝＝＝＝.1．(变问法)若本例条件不变，如何求log1845(用a，b表示)?解：因为18b＝5，所以log185＝b，所以log1845＝log189＋log185＝a＋b.2．(变条件)若将本例条件“log189＝a，18b＝5”改为“log94＝a，9b＝5”，则又如何求解呢？解：因为9b＝5，所以log95＝b.所以log3645＝＝＝＝.解对数综合应用问题的3种方法(1)统一化：所求为对数式，条件转为对数式．(2)选底数：针对具体问题，选择恰当的底数．(3)会结合：学会换底公式与对数运算法则结合使用．1．已知log142＝a，用a表示log7.解：因为log142＝a，所以log21...
