4．1指数最新课程标准：通过对有理数指数幂a(a>0，且a≠1；m，n为整数，且n>0)、实数指数幂ax(a>0，且a≠1；x∈R)含义的认识，了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质．知识点一n次方根及根式的概念1．a的n次方根的定义如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.2．a的n次方根的表示(1)当n是奇数时，a的n次方根表示为，a∈R.(2)当n是偶数时，a的n次方根表示为±，其中－表示a的负的n次方根，a∈[0，＋∞)．3．根式式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．根式的概念中要求n>1，且n∈N*.知识点二根式的性质(1)()n＝a(n∈R＋，且n>1)；(2)＝()n中当n为奇数时，a∈R；n为偶数时，a≥0，而中a∈R.知识点三分数指数幂的意义及有理数指数幂的运算性质1．分数指数幂的意义分数指数幂正分数指数幂规定：a＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)负分数指数幂规定：a＝＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)性质0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义2.有理数指数幂的运算性质(1)aras＝ar＋s；(a>0，r，s∈Q)(2)(ar)s＝ars；(a>0，r，s∈Q)(3)(ab)r＝arbr.(a>0，b>0，r∈Q)3．无理数指数幂无理数指数幂aα(a>0，α是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质对于无理数指数幂同样适用．1[教材解难]1．教材P105思考可以，把根式表示为分数指数幂的形式时，例如，把，，等写成下列形式：＝a(a>0)，＝b(b>0)，＝c(c>0)．2．教材P108思考无理数指数幂2的含义：就是一串以的不足近似值为指数、以2为底数的有理数指数幂和另一串同样以的过剩近似值为指数、以2为底数的有理数指数幂无限逼近的结果，故2是一个确定的实数．[基础自测]1.＋π等于()A．4B．2π－4C．2π－4或4D．4－2π解析：＋π＝4－π＋π＝4.故选A.答案：A2．b4＝3(b>0)，则b等于()A．34B．3C．43D．35解析：因为b4＝3(b>0)，∴b＝＝3.答案：B3．下列各式正确的是()A.＝－3B.＝aC．()3＝－2D.＝2解析：由于＝3，＝|a|，＝－2，故选项A，B，D错误，故选C.答案：C4.的值是________．解析：＝＝＝＝＝.答案：2题型一利用根式的性质化简求值[经典例题]例1(1)下列各式正确的是()A.＝aB．a0＝1C.＝－4D.＝－5(2)计算下列各式：①＝________.②＝________.③－－＝________.【解析】(1)由于＝则选项A，C排除，D正确，B需要加条件a≠0.(2)①＝－a.②＝＝π－3.③－－＝－－＝－－＝.首先确定式子中n的奇偶，再看式子的正负，最后确定化简结果．【答案】(1)D(2)①－a②π－3③方法归纳根式化简或求值的策略(1)解决根式的化简或求值问题，首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简或求值．(2)开偶次方时，先用绝对值表示开方的结果，再去掉绝对值符号化简，化简时要结合条件或分类讨论．跟踪训练1求下列各式的值：(1)；(2)；(3)；(4)＋.解析：(1)＝－2；(2)＝＝；(3)＝|3－π|＝π－3；(4)原式＝＋y－x＝|x－y|＋y－x.当x≥y时，原式＝x－y＋y－x＝0；当x0)化为根式为________．(2)化简：(a2·)÷(·)＝________.(用分数指数幂表示)．利用根式与分数指数幂的性质意义化为根式或分数指数幂．(3)将下列根式与分数指数幂进行互化．①a3·.3②(a>0，b>0)．【解析】(1)a＝＝(2)(a2·)÷(·)＝(a2·a)÷(a·a)＝a÷a＝a＝a【答案】(1)(2)a(3)①a3·＝a3·a＝a＝a.②＝＝＝＝ab.方法归纳根式与分数指数幂互化的方法及思路(1)方法：根指数分数指数的分母，被开方数(式)的指数分数指数的分子．(2)思路：在具体计算中，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题．提醒：如果根式中含有多重根号，要由里向外用分数指数幂写出．跟踪训练2下列根式与分数指数幂的互化正确的是()A.－＝(－x)(x>0)B.＝y(y<0)C．x＝(x>0)D．x＝－(x≠0)解析：－＝－x(x>0)；＝(y2)＝－y(y<0)；x＝(x－3)＝(x>0)；x＝＝(x≠0)．答案：C4A：－先把＝x再加上－.B：注意y<0.C：负指数次幂运算．题型三分数指数幂的运算与化简[教材P106例4]例3计算下列各式(...
