11．4.2平面与平面垂直[课程目标]1.理解二面角及其平面角的概念，能确认图形中的已知角是否为二面角的平面角；2.理解并掌握平面与平面垂直的定义；3.掌握平面与平面垂直的判定定理，并能熟练应用；4.掌握平面与平面垂直的性质定理，并能熟练应用．知识点一二面角[填一填]1．定义：平面内的一条直线把一个平面分成两部分，其中的每一部分都称为一个半平面．从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角，这条直线称为二面角的棱，这两个半平面称为二面角的面．2．表示：以AB为棱，α和β为半平面的二面角，通常记作二面角αABβ.如果C和D分别是半平面α和β内的点，那么这个二面角也可记作CABD.3．在二面角αlβ的棱上任取一点O，以O为垂足，分别在半平面α和β内作垂直于棱的射线OA和OB，则射线OA和OB所成的角称为二面角的平面角．二面角的大小用它的平面角的大小来度量，即二面角大小等于它的平面角大小．特别地，平面角是直角的二面角称为直二面角．[答一答]1．确定二面角的平面角的方法有哪些？提示：方法1：(定义法)在二面角的棱上找一特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线．如下图：方法2：(垂面法)过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条射线所成的角，即为二面角的平面角．如图：注意：①在平面角的定义中，平面角的两边必须有共同的顶点且分别在两个半平面内；平面角的两边必须都与棱垂直．②“特殊”两字的作用，在于平面角的大小易于求出．知识点二面面垂直的判定定理与性质定理[填一填]1．如果两个平面α与β所成角的大小为90°，则称这两个平面互相垂直，记作α⊥β.2．平面与平面垂直的判定定理与性质定理[答一答]2．面面垂直的判定定理的条件有几个，减少一个条件定理是否还成立？提示：判定定理有两个条件，若去掉一个条件，则定理不一定成立．3．若两个平面互相垂直，一条直线与一个平面垂直，那么这条直线与另一个平面的关系是什么？提示：若α⊥β，l⊥α，在β内作a与α，β的交线垂直，则a⊥α，∴a∥l.∴l∥β或l⊂β，即直线l与平面β平行或在平面β内．类型一有关概念和定理的判断[例1]下列各命题中正确的序号有________(填序号)．(1)一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的任何直线平行；(2)垂直于三角形两边的直线必垂直于第三边；(3)过点A垂直于直线a的所有直线都在过点A垂直于a的平面内；(4)如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面．[解析]直线与平面平行，则直线与平面内的直线的位置关系不外乎有两种①平行，②异面，因此(1)错．垂直于三角形两边的直线必垂直于三角形所在的平面，由线面垂直定义逆用，则该直线必垂直于三角形的第三边，所以(2)对．①过一点有且只有一个平面与已知直线垂直，②过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，根据第①个命题知：过点A垂直于直线a的平面唯一，因此，过点A且与直线a垂直的直线都在过点A且与直线a垂直的平面内，所以(3)对．三条共点直线两两垂直，设为a，b，c且a，b，c共点于O， a⊥b，a⊥c，b∩c＝O，且b，c确定一平面，设为α，则a⊥α.同理可知b垂直于由a，c确定的平面，c垂直于由a，b确定的平面．所以(4)对．[答案](2)(3)(4)处理此类问题关键是正确理解概念及定理所具备的条件，只有具备相应条件，才能得到相应结论.[变式训练1]若l，m是互不相同的空间直线，α，β，γ是不重合的平面，则下列命题中是真命题的是(D)A．若l∥α，m∥α，l⊂β，m⊂β，则α∥βB．若α⊥β，l⊂α，则l⊥βC．若α⊥β，β⊥γ，则α⊥γD．若l⊥α，l∥β，则α⊥β解析：A中未说明l，m相交，只有直线l，m相交时，才能得到α∥β；B中l可能在β内或与其相交、平行，故B不正确；C中平面的垂直关系不具有传递性，α与γ可能斜交、平行；D中若l∥β，则在β内能找到一条直线l′使l′∥l，而l⊥α，则有l′⊥α，根据面面垂直的判定定理可得α⊥β.类型二平面与平面垂直的判定定理[例2]如图，四棱锥PABCD中，AB⊥AC，AB⊥PA，AB∥CD，AB＝2CD，E，F，G，M，N分别为PB，AB，BC，PD，PC的中点．(1)求证：CE∥平面PAD；(2)求证：平面EFG⊥平面EM...
