高中数学 第五章 三角函数 5.5.2 简单的三角恒等变换讲义 新人教A版必修第一册-新人教A版高一第一册数学教案VIP专享VIP免费

5.5.2简单的三角恒等变换最新课程标准：能运用公式进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，这三组公式不要求记忆).知识点一半角公式巧记“半角公式”无理半角常戴帽，象限确定帽前号；数1余弦加减连，角小值大用加号．“角小值大用加号”即y＝1＋cosα(α是锐角)是减函数，角小值大，因此用“＋”号，而y＝1－cosα为增函数，角大值大，因此用“－”号．知识点二辅助角公式asinx＋bcosx＝·sin(x＋φ)，其中tanφ＝.1.辅助角公式形式上是asinα＋bcosα(ab≠0)的三角函数式，通过三角恒等变换可写成sin(a＋φ)的形式，其中tanφ＝，此公式称为辅助角公式．其中φ可通过tanφ＝以及点(a，b)所在的象限来确定．2．辅助角公式的特殊情况sinα±cosα＝sin；sinα±cosα＝2sin；cosα±sinα＝2sin.[教材解难]1．有了半角公式，只需知道cosα的值及相关的角的范围便可求的正弦、余弦、正切的值．2．对于S和C，α∈R，但是使用T时，要保证α≠(2k＋1)π(k∈Z)．3．半角公式根号前符号的确定规律如下：(1)当给出的角是某一象限的角时，可根据下表确定半角的函数值的符号.αsincostan第一象限第一、三象限＋，－＋，－＋第二象限第一、三象限＋，－＋，－＋1第三象限第二、四象限＋，－－，＋－第四象限第二、四象限＋，－－，＋－(2)当给出角α的范围(即某一区间)时，可先求的范围，再根据的范围来确定各三角函数值的符号．(3)若没有给出确定符号的条件，则在根号前保留正、负两个符号．[基础自测]1．若cosα＝，且α∈(0，π)，则cos的值为()A.B．－C．±D．±解析：因为α∈(0，π)，所以∈.所以cos＝＝＝.答案：A2．下列各式中，值为的是()A．sin15°cos15°B．cos2－sin2C.D.解析：选项A中，原式＝sin30°＝；选项B中，原式＝cos＝；选项C中，原式＝×＝tan60°＝；选项D中，原式＝cos30°＝.故选B.答案：B3．化简cosx＋sinx等于()A．2cosB．2cosC．2cosD．2cos解析：cosx＋sinx＝2＝2＝2cos.答案：B4．若3sinx－cosx＝2sin(x＋φ)，φ∈(－π，π)，则φ＝________.解析： 3sinx－cosx＝2＝2sin，因φ∈(－π，π)，∴φ＝－.答案：－题型一半角公式的应用[经典例题]例1已知sinα＝－，π<α<，求sin，cos，tan的值．【解析】 π<α<，sinα＝－，∴cosα＝－，且<<，∴sin＝＝，cos＝－＝－，tan＝＝－2.利用半角公式求值．2方法归纳解决给值求值问题的思路方法已知三角函数式的值，求其他三角函数式的值，一般思路为：(1)先化简已知或所求式子；(2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手)；(3)将已知条件代入所求式子，化简求值跟踪训练1(1)求值：sin＝________；cos＝________.解析：(1)sin＝＝＝；cos＝＝＝.答案：由sin>0，所以.由cos>0，则cos＝.(2)＋2的化简结果是________．解析：原式＝＋2＝2|cos4|＋2|sin4|＝－2cos4－2sin4.答案：－2cos4－2sin4半角是相对的，4是8的半角，利用公式化简.题型二三角恒等式的证明例2若π<α<，证明：＋＝－cos；【证明】左边＝＋＝＋因为π<α<，所以<<，所以sin>0>cos.所以左边＝＋＝＋＝－cos＝右边．所以原等式成立.等式左边复杂，应从左边入手，利用公式化简，同时注意α的范围．方法归纳三角恒等式证明的思路通过观察分析等式两端的结构，从两端角的差异、三角函数名称及结构的差异入手，寻求证明途径，左右归一；或消除等式两端的差异，达到形式上的统一．跟踪训练2求证：＝sin2α.证明：方法一左边＝＝＝＝cosαsincos＝sinαcosα＝sin2α＝右边．所以原式成立．方法二左边＝＝cos2α·＝cos2αtanα＝cosαsinα＝sin2α＝右边．所以原式成立．左边复杂，从左边入手化简，先切化弦再利用倍角、半角公式化简．题型三三角恒等变换与三角函数的综合[教材P227例9]例3求下列函数的周期，最大值和最小值：3(1)y＝sinx＋cosx；(2)y＝3sinx＋4cosx.【解析】(1)y＝sinx＋cosx＝2＝2＝2sin.因此，所求周期为2π，最大值为2，最小值为－2.(2)设3sinx＋4cosx＝Asin(x＋φ)，则3sinx＋4cosx＝Asinxcosφ＋Acosxsinφ.于是Acosφ＝3，Asinφ＝4，于是A2cos2φ＋A2sin2φ＝25，所以A2＝25.取A＝5，则c...