5．5.2简单的三角恒等变换考点学习目标核心素养半角公式的推导了解半角及其推导过程逻辑推理三角恒等变换灵活运用和差的正弦、余弦公式进行相关计算及化简、证明逻辑推理、数学运算问题导学预习教材P225－P228，并思考以下问题：1．如何用cosα表示sin2，cos2和tan2？2．半角公式的符号是由哪些因素决定的？1．半角公式2．辅助角公式asinx＋bcosx＝sin(x＋θ)(其中tanθ＝)．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)半角公式对任意角都适用．()(2)cos＝.()(3)对于任意α∈R，sin＝sinα都不成立．()答案：(1)×(2)×(3)×若cosα＝，且α∈(0，π)，则cos的值为()A.B．－C．±D．±答案：A已知cosα＝，α∈，则sin等于()A．－B.C.D．－答案：B已知cosθ＝－，且180°＜θ＜270°，则tan＝________．答案：－21应用半角公式求值已知α为钝角，β为锐角，且sinα＝，sinβ＝，求cos的值．【解】因为α为钝角，β为锐角，sinα＝，sinβ＝，所以cosα＝－，cosβ＝.所以cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝×＋×＝.因为＜α＜π且0＜β＜，所以0＜α－β＜π，即0＜＜.所以cos＝＝＝.利用半角公式求值的思路(1)看角：若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍，则求解时常常借助半角公式求解．(2)明范围：由于半角公式求值常涉及符号问题，因此求解时务必依据角的范围，求出相应半角的范围．(3)选公式：涉及半角公式的正切值时，常用tan＝＝，其优点是计算时可避免因开方带来的求角的范围问题；涉及半角公式的正、余弦值时，常先利用sin2＝，cos2＝计算．1．已知sinα＝－且π＜α＜，则sin＝________．解析：因为sinα＝－，π＜α＜，所以cosα＝－.又＜＜，所以sin＝＝＝.答案：2．已知cos2θ＝－，<θ<π，求tan的值．解：因为cos2θ＝－，<θ<π，依半角公式得sinθ＝＝＝，cosθ＝－＝－＝－，所以tan＝＝＝.三角函数式的化简化简(－π＜α＜0)．【解】原式＝＝＝＝.因为－π＜α＜0，所以－＜＜0，所以sin＜0，所以原式＝＝cosα.2(变条件)若本例中式子变为(0＜θ＜π)，则化简后的结果是什么？解：原式＝＝＝－.因为0＜θ＜π，所以0＜＜，所以cos＞0，所以原式＝－cosθ.三角函数式化简的思路和方法(1)化简的思路：对于和式，基本思路是降次、消项和逆用公式；对于三角公式，基本思路是分子与分母约分或逆用公式；对于二次根式，注意二倍角公式的逆用．另外，还可以用切化弦、变量代换、角度归一等方法．(2)化简的方法：弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂等．化简：(0＜α＜π)．解：因为tan＝，所以(1＋cosα)tan＝sinα，又因为cos＝－sinα，且1－cosα＝2sin2，所以原式＝＝＝－.因为0＜α＜π，所以0＜＜.所以sin＞0.所以原式＝－2cos.与三角函数性质有关的问题已知函数f(x)＝cos(π＋x)cos－cos2x＋.(1)求f(x)的最小正周期和最大值；(2)求f(x)在上的单调递增区间．【解】f(x)＝(－cosx)·(－sinx)－·＋＝sin2x－cos2x＝sin.(1)f(x)的最小正周期为π，最大值为1.(2)令2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，即kπ－≤x≤kπ＋π(k∈Z)，所以f(x)在上单调递增，即f(x)在上的单调递增区间是.应用公式解决三角函数综合问题的三个步骤↓3↓1．已知函数f(x)＝cos2＋sin2－1，则f(x)()A．是奇函数B．是偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．既不是奇函数又不是偶函数解析：选A.f(x)＝＋－1＝＝sin2x，是奇函数．故选A.2．已知函数f(x)＝sinx－2sin2.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间上的最小值．解：(1)因为f(x)＝sinx＋cosx－＝2sin－，所以f(x)的最小正周期为2π.(2)因为0≤x≤，所以≤x＋≤π.当x＋＝π，即x＝时，f(x)取得最小值．所以f(x)在区间上的最小值为f＝－.1．若sin(π－α)＝－且α∈，则sin等于()A．－B．－C.D.解析：选B.由题意知sinα＝－，α∈，所以cosα＝－.因为∈，所以sin＝cos＝－＝－.故选B.2．化简：＝________．解析：原式＝＝，因为<θ<2π，所以<<π，所以sin>0，故原式＝sin.答案：sin3．已知α∈，β∈，cosβ＝－，sin(α＋β)＝.(1)求tan的值；(2)求sinα的值．解：(1)因为β∈，cosβ＝－，则sinβ＝，tan＝＝＝....
