高中数学 第五章 三角函数 5.3.2 诱导公式（二）讲义 新人教A版必修第一册-新人教A版高一第一册数学教案VIP专享VIP免费

第2课时诱导公式(二)知识点诱导公式五、六(1)诱导公式五、六反映的是角±α与α的三角函数值之间的关系．可借用口诀“函数名改变，符号看象限”来记忆．(2)诱导公式是三角变换的基本公式，其中角可以是一个单角，也可以是一个复角，应用时要注意整体把握，灵活变通．[教材解难]准确记忆六组诱导公式(1)诱导公式一～六揭示了终边具有某种对称关系的两个角三角函数之间的关系．(2)这六组诱导公式可归纳为“k·90°±α(k∈Z)”的三角函数值与α的三角函数值之间的关系．当k为偶数时得角α的同名三角函数值，当k为奇数时得角α的异名三角函数值，然后在前面加上一个把角α看成锐角时原三角函数值的符号，可简记为“奇变偶不变，符号看象限”．[基础自测]1．化简：sin＝()A．sinxB．cosxC．－sinxD．－cosx解析：sin＝sin＝sin＝cosx答案：B2．若sin<0，且cos>0，则θ是()A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角解析：由于sin＝cosθ<0，cos＝sinθ>0，所以角θ的终边落在第二象限，故选B.答案：B3．已知sinθ＝，则cos(450°＋θ)的值是()A.B．－C．－D.解析：cos(450°＋θ)＝cos(90°＋θ)＝－sinθ＝－.答案：B14．sin95°＋cos175°的值为________．解析：sin95°＋cos175°＝sin(90°＋5°)＋cos(180°－5°)＝cos5°－cos5°＝0.答案：0题型一利用诱导公式求值[教材P193例5]例1已知sin(53°－α)＝，且－270°<α<－90°，求sin(37°＋α)的值．解析：设β＝53°－α，γ＝37°＋α，那么β＋γ＝90°，从而γ＝90°－β.于是sinγ＝sin(90°－β)＝cosβ.因为－270°<α<－90°，所以143°<β<323°.由sinβ＝>0，得143°<β<180°.所以cosβ＝－＝－＝－，所以sin(37°＋α)＝sinγ＝－.注意到(53°－α)＋(37°＋α)＝90°，如果设β＝53°－α，γ＝37°＋α，那么β＋γ＝90°，由此可利用诱导公式和已知条件解决问题．教材反思利用诱导公式五、六求值的三个关注点(1)角的变化：对于三角函数式的化简求值问题，一般遵循诱导公式先行的原则，即先用诱导公式化简变形，达到角的统一．(2)切化弦：切化弦，以保证三角函数名最少．(3)函数名称：对于kπ±α和±α这两套诱导公式，切记前一套公式不变名，后一套公式变名．提醒：当角比较复杂时，要注意分析两个角之间是否具有互余、互补关系，或两个角的和、差为特殊角等，常见的如±α，＋α与－α的关系．跟踪训练1若cos(π＋α)＝－，且α∈，则tan＝________.解析：因为cos(π＋α)＝－，所以cosα＝，因为α∈，所以sinα＝－＝－，所以tan＝tan＝tan＝＝＝＝＝.答案：由cos(π＋α)可求出cosα，进而可求sinα，tan可化为sinα，cosα的关系．题型二利用诱导公式证明恒等式[经典例题]例2求证：＝.【解析】证明：右边＝＝＝＝＝＝＝左边，所以原等式成立.等式右边复杂，应从右边入手，利用诱导公式化简证明．2方法归纳证明三角恒等式的常用方法(1)由左边推至右边或由右边推至左边，遵循的是化繁为简的原则．(2)证明左边＝A，右边＝A，则左边＝右边，这里的A起着桥梁的作用．(3)通过作差或作商证明，即左边－右边＝0或＝1.跟踪训练2求证：·sin(α－2π)·cos(2π－α)＝sin2α.解析：证明：左边＝·[－sin(2π－α)]cosα＝[－(－sinα)]cosα＝·sinα·cosα＝sin2α＝右边，故原式成立．等式左边复杂、应从左边入手利用诱导公式化简证明．题型三诱导公式的综合应用[经典例题]例3已知f(α)＝.(1)化简f(α)．(2)若α是第三象限角，且cos＝，求f(α)的值．(3)若α＝－，求f(α)的值．【解析】(1)f(α)＝＝＝－cosα.(2)因为cos＝，又cos＝cos＝－sinα，即sinα＝－，而α是第三象限角，所以cosα＝－＝－＝－，所以f(α)＝－cosα＝.(3)α＝－π时，f(α)＝－cosα＝－cos＝－cos＝－cos＝－.首先利用诱导公式对函数式化简变形，再利用平方关系等三角函数知识解题．方法归纳用诱导公式化简求值的方法(1)对于三角函数式的化简求值问题，一般遵循诱导公式先行的原则，即先用诱导公式化简变形，达到角的统一，再进行切化弦，以保证三角函数名最少．(2)对于π±α和±α这两套诱导公式，切记运用前一套公式不变...