高中数学 第五章 三角函数 5.4.3 正切函数的性质与图象讲义 新人教A版必修第一册-新人教A版高一第一册数学教案VIP专享VIP免费

5.4.3正切函数的性质与图象知识点函数y＝tanx的图象与性质解析式y＝tanx图象定义域值域R周期π奇偶性奇函数单调性在开区间，k∈Z上都是增函数如何作正切函数的图象(1)几何法就是利用单位圆中的正切线来做出正切函数的图象，该方法作图较为精确，但画图时较烦琐．(2)“三点两线”法“三点”是指，(0,0)，；“两线”是指x＝－和x＝.在“三点”确定的情况下，类似于“五点法”作图，可大致画出正切函数在上的简图，然后向右、向左扩展即可得到正切曲线．[教材解难]1．教材P209思考有了前面的知识准备，我们可以换个角度，即从正切函数的定义出发研究它的性质，再利用性质研究正切函数的图象．2．教材P210思考可以先考察函数y＝tanx，x∈的图象与性质，然后再根据奇偶性、周期性进行拓展．[基础自测]1．下列说法正确的是()A．y＝tanx是增函数B．y＝tanx在第一象限是增函数C．y＝tanx在某一区间上是减函数D．y＝tanx在区间(k∈Z)上是增函数解析：由正切函数的图象可知D正确．答案：D2．函数y＝tan的定义域是()1A.B.C.D.解析：由x＋≠kπ＋，k∈Z，得x≠kπ＋，k∈Z.答案：D3．已知函数f(x)＝tan，则函数f(x)的最小正周期为()A.B.C．πD．2π解析：解法一函数y＝tan(ωx＋φ)的周期T＝，可得T＝＝.解法二由诱导公式可得tan＝tan＝tan，所以f＝f(x)，所以周期为T＝.答案：B4．比较大小：tan135°________tan138°.(填“＞”或“＜”)解析：因为90°＜135°＜138°＜270°，又函数y＝tanx在区间(90°，270°)上是增函数，所以tan135°＜tan138°.答案：＜题型一求函数的定义域例1求下列函数的定义域：(1)y＝；(2)y＝lg(－tanx)．【解析】(1)要使函数y＝有意义，需使所以函数的定义域为{xx∈R且x≠kπ－，x≠kπ＋，k∈Z}.(2)要使y＝lg(－tanx)有意义，需使，所以函数的定义域是.求函数的定义域注意函数中分母不等于0，真数大于0，正切函数中的x≠kπ＋k∈Z等问题．方法归纳求正切函数定义域的方法求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y＝tanx有意义即x≠＋kπ，k∈Z.而对于构建的三角不等式，常利用三角函数的图象求解．跟踪训练1(1)函数y＝的定义域为()A.{x|x≠0}B．{x|x≠kπ，k∈Z}C.D.(2)求函数y＝＋lg(1－tanx)的定义域．解析：(1)函数y＝有意义时，需使2所以函数的定义域为{x{x≠kπ＋，且x≠kπ，k∈Z}＝{x{x≠，k∈Z}.(2)由题意得即－1≤tanx<1.在内，满足上述不等式的x的取值范围是－，.又y＝tanx的周期为π，所以所求函数的定义域是(k∈Z)．答案：(1)D(2)见解析(1)分母不等于0(2)偶次根式被开方数大于等于0(3)真数大于0(4)正切函数x≠kπ＋，k∈Z题型二正切函数的单调性及其应用例2求函数y＝tan的单调区间．【解析】y＝tan＝－tan.由－＋kπ<3x－<＋kπ(k∈Z)，得－＋0，由于y＝tanx在每一个单调区间上都是增函数，故可用“整体代换”的思想，令kπ－<ωx＋φ