高中数学 第五章 三角函数 5.1.2 弧度制教师用书 新人教A版必修第一册-新人教A版高一第一册数学教案VIP专享VIP免费

5．1.2弧度制考点学习目标核心素养弧度制、角度制与弧度制的换算了解弧度制的概念能进行角度与弧度之间的互化数学抽象、数学运算用弧度制表示终边相同的角能用弧度制表示终边相同的角数学运算扇形的弧长与面积公式理解弧度制下扇形的弧长与面积公式数学运算问题导学预习教材P172－P175，并思考以下问题：1．1弧度的角是如何定义的？2．如何进行弧度与角度的换算？3．以弧度为单位的扇形弧长、面积公式是什么？1．度量角的两种制度角度制定义用度作为单位来度量角的单位制1度的角1度的角等于周角的，记作1°弧度制定义以弧度为单位来度量角的单位制1弧度的角长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.1弧度记作1rad(rad可省略不写)■名师点拨(1)用弧度为单位表示角的大小时，“弧度”或“rad”可以略去不写，只写这个角对应的弧度数即可，如角α＝－3.5rad可写成α＝－3.5.而用角度为单位表示角的大小时，“度”或“°”不可以省略.(2)不管是以弧度还是以度为单位的角的大小，都是一个与半径的大小无关的定值．2．弧度数的计算与互化(1)弧度数的计算(2)弧度与角度的互化13．弧度制下扇形的弧长与面积公式(r是扇形所在圆的半径，n为扇形的圆心角)公式度量制弧长公式扇形面积公式角度制l＝S＝弧度制l＝|α|·r(0＜|α|＜2π)S＝lr＝|α|r2(0＜|α|＜2π)■名师点拨(1)在应用扇形面积公式S＝|α|r2时，要注意α的单位是“弧度”．(2)由α，r，l，S中任意的两个量可以求出另外的两个量．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)1rad的角比1°的角要大．()(2)用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关．()(3)每个弧度制的角，都有唯一的角度制的角与之对应．()(4)1°的角是周角的，1rad的角是周角的.()答案：(1)√(2)×(3)√(4)√弧度化为角度是()A．278°B．280°C．288°D．318°答案：C半径为2，圆心角为的扇形的面积是()A.B．πC.D.答案：C(1)18°＝________rad；(2)π＝________．答案：(1)(2)54°角度制与弧度制的互化将下列角度与弧度进行互化：(1)37°30′；(2)－216°；(3)；(4)－.【解】(1)37°30′＝37.5°＝°＝×＝.2(2)－216°＝－216×＝－.(3)＝°＝°＝105°.(4)－π＝°＝－396°.角度制与弧度制的互化原则(1)原则：牢记180°＝πrad，充分利用1°＝rad和1rad＝°进行换算．(2)方法：设一个角的弧度数为α，角度数为n，则αrad＝°；n°＝n·rad.1．把下列角度化为弧度．(1)－1500°＝________．(2)67°30′＝________．解析：(1)－1500°＝－1500×＝－π.(2)67°30′＝67.5°＝67.5×＝.答案：(1)－(2)2．把下列弧度化为角度．(1)＝________．(2)－＝________．解析：(1)＝°＝690°.(2)－＝－°＝－390°.答案：(1)690°(2)－390°用弧度制表示终边相同的角把－1480°写成2kπ＋α(k∈Z)的形式，其中0≤α<2π，并判断它是第几象限角？【解】－1480°＝－1480×＝－＝－10π＋，其中0≤<2π，因为是第四象限角，所以－1480°是第四象限角．(变问法)若本例的条件不变，在[－4π，4π)范围内找出与α终边相同的角的集合．解：与α终边相同的角为2kπ＋π(k∈Z)．由－4π≤2kπ＋π<4π知k＝－2，－1，0，1.所以所求角的集合为.用弧度制表示终边相同角的两个关注点(1)用弧度制表示终边相同的角2kπ＋α(k∈Z)时，其中2kπ是π的偶数倍，而不是整数倍．(2)注意角度制与弧度制不能混用．1．若角θ的终边与角的终边相同，则在[0，2π]内终边与角的终边相同的角是____________．解析：因为θ＝＋2kπ，k∈Z，所以＝＋，k∈Z.当k＝0，1，2，3时，＝，，，且∈[0，2π]．答案：，，，2．如图所示：(1)分别写出终边落在OA，OB位置上的角的集合．3(2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合．解：(1)终边在OA上的角的集合为.终边在OB上的角的集合为.(2).扇形的弧长与面积的计算(1)已知扇形的圆心角为120°，半径为cm，则此扇形的面积为________cm2.(2)已知扇形的周长为10cm，面积为4cm2，求扇形圆心角的弧度数．【解】(1)设扇形的弧长为l，因为120°＝120×rad＝(rad)，所以l＝αR＝×＝(cm)．所以S＝lR＝××＝π(cm2)．故填π.(2)设扇形圆心角的弧度数为θ(0...