高中数学 第三章 导数及其应用 3.1 变化率与导数 3.1.3 导数的几何意义讲义（含解析）新人教A版选修1-1-新人教A版高二选修1-1数学教案VIP免费

3．1.3导数的几何意义预习课本P76～79，思考并完成以下问题1．导数的几何意义是什么？2．导函数的概念是什么？怎样求导函数？3．怎么求过一点的曲线的切线方程？1．导数的几何意义(1)切线的概念：如图，对于割线PPn，当点Pn趋近于点P时，割线PPn趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为点P处的切线．(2)导数的几何意义：函数f(x)在x＝x0处的导数就是切线PT的斜率k，即k＝lim＝f′(x0)．2．导函数的概念(1)定义：当x变化时，f′(x)便是x的一个函数，我们称它为f(x)的导函数(简称导数)．(2)记法：f′(x)或y′，即f′(x)＝y′＝lim.[点睛]“函数y＝f(x)在x＝x0的导数”“导函数”“导数”三者之间的区别与联系“函数y＝f(x)在x＝x0处的导数”是一个数值，是针对x0而言的，与给定的函数及x0的位置有关，而与Δx无关；“导函数”简称为“导数”，是一个函数，导函数是对一个区间而言的，它是一个确定的函数，依赖于函数本身，而与x，Δx无关．1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)导函数f′(x)的定义域与函数f(x)的定义域相同()(2)直线与曲线相切，则直线与已知曲线只有一个公共点()(3)函数f(x)＝0没有导函数()答案：(1)×(2)×(3)×2．曲线y＝x2在点P(1,1)处的切线方程为()A．y＝2xB．y＝2x－1C．y＝2x＋1D．y＝－2x答案：B3．已知曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为2x－y＋2＝0，则f′(1)＝()A．4B．－4C．－2D．2答案：D4．已知f(x)＝－，则f′(x)＝________.答案：求曲线的切线方程[典例]已知曲线C：y＝x3＋，求曲线C上的横坐标为2的点处的切线方程．[解]将x＝2代入曲线C的方程得y＝4，∴切点P(2,4)．y′|x＝2＝lim＝lim＝lim[4＋2·Δx＋(Δx)2]＝4.∴k＝y′|x＝2＝4.∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.1．过曲线上一点求切线方程的三个步骤2．过曲线外的点P(x1，y1)求曲线的切线方程的步骤(1)设切点为Q(x0，y0)；(2)求出函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)；(3)利用Q在曲线上和f′(x0)＝kPQ，解出x0，y0及f′(x0)；(4)根据直线的点斜式方程，得切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．[活学活用]1．求过点P(－1,2)且与曲线y＝3x2－4x＋2在点M(1,1)处的切线平行的直线．解： 曲线y＝3x2－4x＋2在点M(1,1)处的切线斜率k＝y′＝lim(3Δx＋2)＝2，∴过点P(－1,2)的直线的斜率为2，由直线的点斜式，得y－2＝2(x＋1)，即2x－y＋4＝0，∴所求直线的方程为2x－y＋4＝0.2．求抛物线f(x)＝x2过点的切线方程．解：由于点不在抛物线上，所以可设切点为(x0，x)，因为f′(x0)＝lim＝lim＝lim(2x0＋Δx)＝2x0，所以该切线的斜率为2x0，又因为此切线过点和点(x0，x)，所以＝2x0，即x－5x0＋6＝0，解得x0＝2或x0＝3，因此切点为(2,4)或(3,9)，所以切线方程分别为y－4＝4(x－2)，y－9＝6(x－3)，即y＝4x－4，y＝6x－9.求切点坐标[典例]已知抛物线y＝2x2＋1分别满足下列条件，请求出切点的坐标．(1)切线的倾斜角为45°.(2)切线平行于直线4x－y－2＝0.(3)切线垂直于直线x＋8y－3＝0.[解]设切点坐标为(x0，y0)，则Δy＝2(x0＋Δx)2＋1－2x－1＝4x0·Δx＋2(Δx)2，∴＝4x0＋2Δx，当Δx→0时，→4x0，即f′(x0)＝4x0.(1) 抛物线的切线的倾斜角为45°，∴斜率为tan45°＝1.即f′(x0)＝4x0＝1，得x0＝，∴切点的坐标为.(2) 抛物线的切线平行于直线4x－y－2＝0，∴k＝4，即f′(x0)＝4x0＝4，得x0＝1，∴切点坐标为(1,3)．(3) 抛物线的切线与直线x＋8y－3＝0垂直，则k·＝－1，即k＝8，故f′(x0)＝4x0＝8，得x0＝2，∴切点坐标为(2,9)．求切点坐标的四个步骤(1)设出切点坐标；(2)利用导数或斜率公式求出斜率；(3)利用斜率关系列方程，求出切点的横坐标；(4)把横坐标代入曲线或切线方程，求出切点纵坐标．[活学活用]已知曲线y＝x3＋3x在点P处的切线与直线y＝15x＋3平行，则点P为()A．(2,14)B．(－2，－14)C．(2,14)或(－2，－14)D．以上都不对解析：选C设P(x0，y0)，由题意可得y′＝lim＝3x＋3，又由题意得3x＋3＝15，所以x0＝±2.当x0＝2时，y0＝23＋6＝14，当x0＝－2时，y0＝(－2)3－6＝－14.所以点P的坐标为(2,14)或(－2，－14)．层级一学业水...