1．3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质知识点“杨辉三角”与二项式系数的性质(a＋b)n的展开式的二项式系数，当n取正整数时可以表示成如下形式：1．杨辉三角的特点(1)在同一行中每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数□相等．(2)在相邻的两行中，除1外的每一个数都等于它“肩上”两个数的□和，即C＝□C＋C.2．二项式系数的性质在解决有关二项式系数的问题时，要注意以下几点：(1)要区分二项式系数与二项式项的系数的区别，二项式系数是指C，C，…，C是组合数，而二项式项的系数是指该项除字母以外的常数部分，与二项式系数有关，但不一定等于二项式系数．(2)在求二项式系数时常用赋值法．如－1,0,1等，赋值法体现了函数思想f(x)＝(ax＋b)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，f(1)＝a0＋a1＋a2＋…＋an.在解题时要注意审题，恰当赋值．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)杨辉三角的每一斜行数字的差成一个等差数列．()(2)二项式展开式的二项式系数和为C＋C＋…＋C.()(3)二项式展开式中系数最大项与二项式系数最大项相同．()答案(1)×(2)×(3)×2．做一做(1)11的展开式中二项式系数最大的项是第________项．(2)若(a＋b)n的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则n＝________.(3)已知(a－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，若a2＝80，则a0＋a1＋a2＋…＋a5＝________.答案(1)6和7(2)8(3)1解析(1)由n＝11为奇数，则展开式中第项和第＋1项，即第6项和第7项的二项式系数相等，且最大．(2)由二项式系数的性质可知，第5项为二项展开式的中间项，即二项展开式有9项，故n＝8.(3)展开式的通项为Tr＋1＝(－1)rC·a5－r·xr，令r＝2，则a2＝(－1)2C·a3＝80，所以a＝2.则(2－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，令x＝1，得a0＋a1＋…＋a5＝1.探究\s\up1()杨辉三角的有关问题例1如图所示，在杨辉三角中，斜线AB上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列：1,2,3,3,6,4,10，…，记这个数列的前n项和为Sn，求S19.[解]由题图知，数列中的首项是C，第2项是C，第3项是C，第4项是C，…，第17项是C，第18项是C，第19项是C.∴S19＝(C＋C)＋(C＋C)＋(C＋C)＋…＋(C＋C)＋C＝(C＋C＋C＋…＋C)＋(C＋C＋C＋…＋C)＝＋C＝274.拓展提升解决与杨辉三角有关的问题的一般思路(1)如图数表满足：①第n行首尾两数均为n；②图中的递推关系类似杨辉三角，则第n(n≥2)行的第2个数是________；(2)将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图所示的三角数表．从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，…，第n次全行的数都为1的是第________行；第61行中1的个数是________．答案(1)(2)2n－132解析(1)由图中数字规律可知，第n行的第2个数是[1＋2＋3＋…＋(n－1)]＋1＝＋1.(2)观察可得第1行，第3行，第7行，第15行，全行都为1，故第n次全行的数都为1的是第2n－1行； n＝6⇒26－1＝63，故第63行共有64个1，递推知第62行共有32个1，第61行共有32个1.探究\s\up1()二项展开式的系数和问题例2在(2x－3y)10的展开式中，求：(1)各项的二项式系数的和；(2)奇数项的二项式系数的和与偶数项的二项式系数的和；(3)各项系数之和；(4)奇数项系数的和与偶数项系数的和．[解]在(2x－3y)10的展开式中：(1)各项的二项式系数的和为C＋C＋…＋C＝210＝1024.(2)奇数项的二项式系数的和为C＋C＋…＋C＝29＝512，偶数项的二项式系数的和为C＋C＋…＋C＝29＝512.(3)设(2x－3y)10＝a0x10＋a1x9y＋a2x8y2＋…＋a10y10(*)，各项系数之和即为a0＋a1＋a2＋…＋a10，由于(*)是恒等式，故可用“赋值法”求解．令(*)中x＝y＝1，得各项系数之和为(2－3)10＝(－1)10＝1.(4)奇数项系数的和为a0＋a2＋a4＋…＋a10，偶数项系数的和为a1＋a3＋a5＋…＋a9.由(3)知a0＋a1＋a2＋…＋a10＝1.①令(*)中x＝1，y＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋…＋a10＝510.②①＋②得2(a0＋a2＋…＋a10)＝1＋510，故奇数项系数的和为(1＋510)；①－②得2(a1＋a3＋…＋a9)＝1－510,故偶数项系数的和为(1－510)．拓展提升求展开式的各项系数之和常用赋值法．“赋值法”是求二项式系数常用的方法，根据题目要求，灵活赋给字母不同的值．一般地，要使展开式中项的...
