高中数学 第一章 三角函数 第4节 三角函数的图象与性质（第2课时）正弦函数、余弦函数的性质教案（含解析）新人教A版必修4-新人教A版高一必修4数学教案VIP免费

第2课时正弦函数、余弦函数的性质[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P34～P40的内容，回答下列问题．(1)观察正弦函数和余弦函数的图象，你认为正弦函数值和余弦函数值有怎样的变化规律？提示：具有“周而复始”的变换规律．(2)正弦曲线和余弦曲线各有怎样的对称性？提示：正弦曲线关于原点对称，余弦曲线关于y轴对称．(3)诱导公式sin(－x)＝－sinx，cos(－x)＝cosx，体现了正弦函数y＝sinx和余弦函数y＝cosx的什么性质？提示：正弦函数y＝sin_x为奇函数，余弦函数y＝cos_x为偶函数．(4)正、余弦函数的定义域、值域各是什么？提示：正、余弦函数的定义域为R，值域为[－1,1]．(5)正弦函数在上函数值的变化有什么特点？余弦函数在[0,2π]上函数值的变化有什么特点？提示：y＝sinx在上，曲线逐渐上升，是增函数，函数值y由－1增大到1；在上，曲线逐渐下降，是减函数，函数值y由1减小到－1.y＝cosx在[0，π]上，曲线逐渐下降，是减函数，函数值由1减小到－1，在[π，2π]上，曲线逐渐上升，是增函数，函数值由－1增大到1.2．归纳总结，核心必记(1)函数的周期性①对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．②如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．③记f(x)＝sinx，则由sin(2kπ＋x)＝sinx(k∈Z)，得f(x＋2kπ)＝f(x)对于每一个非零常数2kπ(k∈Z)都成立，余弦函数同理也是这样，所以正弦函数、余弦函数都是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它们的周期，最小正周期为2π.(2)正、余弦函数的性质y＝sinxy＝cosx函数名称图象与性质图象定义域RR值域[－1,1][－1,1]周期性最小正周期为2π最小正周期为2π奇偶性奇函数偶函数单调性在(k∈Z)上递增；在(k∈Z)上递减在[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上递增；在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上递减对称轴x＝kπ＋(k∈Z)x＝kπ(k∈Z)对称中心(kπ，0)(k∈Z)(k∈Z)最值x＝2kπ＋，k∈Z时，ymax＝1；x＝2kπ－，k∈Z时，ymin＝－1x＝2kπ，k∈Z时，ymax＝1；x＝2kπ＋π，k∈Z时，ymin＝－1[问题思考](1)若f(2x＋T)＝f(x)恒成立，T是f(x)的周期吗？提示：不是．自变量x本身加非零常数T才可以，即f(x＋T)＝f(x)．(2)周期函数的定义域一定是x∈R吗？提示：不一定，但周期函数的定义域一定是无限集．(3)周期函数的周期是唯一的吗？提示：不唯一，若T是函数的周期，则kT(k∈Z)也是函数的周期．(4)正弦函数和余弦函数的图象都既是中心对称图形又是轴对称图形，它们的对称中心和对称轴有什么关系？提示：正弦函数图象的对称中心、对称轴分别与余弦函数图象的对称轴，对称中心对应．[课前反思](1)周期及周期函数的定义：；(2)正弦函数和余弦函数的性质：.知识点1正、余弦函数的周期性讲一讲1．求下列三角函数的周期：(1)y＝3sinx，x∈R；(2)y＝cos2x，x∈R；(3)y＝sin，x∈R；(4)y＝|cosx|，x∈R.[尝试解答](1)因为3sin(x＋2π)＝3sinx，由周期函数的定义知，y＝3sinx的周期为2π.(2)因为cos2(x＋π)＝cos(2x＋2π)＝cos2x，由周期函数的定义知，y＝cos2x的周期为π.(3)因为sin＝sin＝sin，由周期函数的定义知，y＝sin的周期为6π.(4)y＝|cosx|的图象如图(实线部分)所示，由图象可知，y＝|cosx|的周期为π.类题·通法求三角函数最小正周期的常用方法(1)公式法，将函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋B或y＝Acos(ωx＋φ)＋B的形式，再利用T＝求得；(2)图象法，利用变换的方法或作出函数的图象，通过观察得到最小正周期．练一练1．求下列函数的最小正周期．(1)y＝sin2x；(2)y＝cosx；(3)y＝2sin；(4)y＝|sinx|.解：(1) sin(2x＋2π)＝sin2x，即sin2(x＋π)＝sin2x，∴y＝sin2x的最小正周期为π.(2) cos＝cosx，即cos(x＋4π)＝cosx，∴y＝cosx的最小正周期为4π.(3) 2sin＝2sin，即2sin＝2sin，∴y＝2sin的最小正周期为6π.(4)作出y＝|sinx|的图象．由图象可知y＝|sinx|的最小正周期为π.知识点2正、余弦函数的奇偶性讲一讲2．判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝sin2x；(2)f(x)＝sin；(...