7．1两个计数原理第一课时分类加法计数原理与分步乘法计数原理[读教材·填要点]1．分类加法计数原理如果完成一件事有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，…，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn种不同的方法．2．分步乘法计数原理如果完成一件事需要分成n个步骤，第一个步骤有m1种不同的方法，第二个步骤有m2种不同的方法，…，第n个步骤有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1×m2×m3×…×mn种不同的方法．[小问题·大思维]何时使用分类加法计数原理？何时使用分步乘法计数原理？提示：完成一件事时，若每一类方法中的任一种方法均能将这件事从头到尾完成，则计算完成这件事的方法总数用分类加法计数原理；完成一件事，若每一步的任一种方法只能完成这件事的一部分，而且必须依次完成所有各步后才能完成这件事，则计算完成这件事的方法总数用分步乘法计数原理．分类加法计数原理的应用[例1]甲班有学生56人，其中男生36人；乙班有学生58人，其中女生36人；丙班有学生56人，其中男生35人．(1)从这三个班中选一名学生担任学生会主席，有多少种不同的选法？(2)从这三个班的男生中选一人担任学生会体育部部长，有多少种不同的选法？[解](1)分3类：从甲班选一名，有56种不同选法；从乙班选一名，有58种不同选法；从丙班选一名，有56种不同选法．每一种方法都能独立完成“选一名学生担任学生会主席”这件事，根据分类加法计数原理，共有56＋58＋56＝170种不同的选法．(2)分3类：从甲班选一名男生，有36种不同选法；从乙班选一名男生，有58－36＝22种不同选法；从丙班选一名男生，有35种不同选法．根据分类加法计数原理，共有36＋22＋35＝93种不同的选法．用分类加法计数原理解题应注意以下问题：(1)明确题目中所指的“完成一件事”是什么事，完成这件事可以有哪些办法，怎样才算完成这件事．(2)分类计数原理中的“分类”要全面、不能遗漏，但也不能重复、交叉．(3)“类”与“类”之间是并列的、互斥的、独立的，也就是说，完成一件事情，每次只能选择其中的一类办法中的某一种方法．(4)若完成某件事情有n类办法，则它们两两的交集为空集，n类的并集为全集．1．在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？解：法一：按十位上的数字分别是1,2,3,4,5,6,7,8的情况分成8类，在每一类中满足题目条件的两位数分别有8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个．由分类加法计数原理知，符合题意的两位数共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36(个)．法二：按个位上的数字是2,3,4,5,6,7,8,9分成8类，在每一类中满足条件的两位数分别有1个，2个，3个，4个，5个，6个，7个，8个，所以按分类加法计数原理，满足条件的两位数共有1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36(个)．分步乘法计数原理的应用[例2]从1,2,3,4中选三个数字，组成无重复数字的整数，则分别满足下列条件的数有多少个？(1)三位数；(2)三位数的偶数．[解](1)三位数有三个数位，故可分三个步骤完成：第一步，排个位，从1,2,3,4中选1个数字，有4种方法；第二步，排十位，从剩下的3个数字中选1个，有3种方法；第三步，排百位，从剩下的2个数字中选1个，有2种方法．依据分步乘法计数原理，共有4×3×2＝24个满足要求的三位数．(2)分三个步骤完成：第一步，排个位，从2,4中选1个，有2种方法；第二步，排十位，从余下的3个数字中选1个，有3种方法；第三步，排百位，只能从余下的2个数字中选1个，有2种方法．故共有2×3×2＝12个三位数的偶数．利用分步乘法计数原理应注意：(1)要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的．(2)“步”与“步”之间是连续的、不间断的或缺一不可的，但也不能重复、交叉．(3)若完成某件事情需n步，则必须且只需依次完成这n个步骤后，这件事情才算完成．2．乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名参加比赛，3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，求不同的出场安排共有多少种？解：法一：按出场次序，第一位置队员的安排有3种方法，第二位置队员的安排有7种方法，第三位置队员的安排有...
