第5章数系的扩充与复数1．虚数单位i(1)i2＝－1(即－1的平方根是±i)．(2)实数可以与i进行四则运算，进行运算时原有的加、乘运算律仍然成立．(3)i的幂具有周期性：i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N＋)，则有in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(n∈N＋)．2．复数的分类复数a＋bi(a，b∈R)3．共轭复数设复数z的共轭复数为，则(1)z·＝|z|2＝||2；(2)z为实数⇔z＝；z为纯虚数⇔z＝－
4．复数相等的条件复数相等的充要条件为a＋bi＝c＋di⇔a＝c，b＝d(a，b，c，d∈R)．特别地，a＋bi＝0⇔a＝b＝0(a，b∈R)．5．复数的运算(1)加法和减法运算：(a＋bi)±(c＋di)＝(a±c)＋(b±d)i(a，b，c，d∈R)．(2)乘法和除法运算：复数的乘法按多项式相乘进行运算，即(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；复数除法是乘法的逆运算，其实质是分母实数化．复数的概念[例1]复数z＝log3(x2－3x－3)＋ilog2(x－3)，当x为何实数时，(1)z∈R
(2)z为虚数
(3)z为纯虚数
[解](1) 一个复数是实数的充要条件是虚部为0，∴由②得x＝4，经验证满足①式．∴当x＝4时，z∈R
(2) 一个复数是虚数的充要条件是虚部不等于0，∴解得即0，∴x＝2，∴ω＝＋3i
复数的四则运算[例2]计算：(1)；(2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i
[解](1)原式＝＝＝＝＝＝－1＋i
(2)原式＝(3＋11i)(3－4i)＋2i＝53＋21i＋2i＝53＋23i
复数加减乘除运算的实质是实数的加减乘除，加减法是对应实、虚部相加减，而乘法类比多项式乘法，除法类比分式的分子分母有理化，注意i2＝－1
解：＋＝－＝＝－1
4．若复数z＝1－2
