第5章数系的扩充与复数1．虚数单位i(1)i2＝－1(即－1的平方根是±i)．(2)实数可以与i进行四则运算，进行运算时原有的加、乘运算律仍然成立．(3)i的幂具有周期性：i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N＋)，则有in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(n∈N＋)．2．复数的分类复数a＋bi(a，b∈R)3．共轭复数设复数z的共轭复数为，则(1)z·＝|z|2＝||2；(2)z为实数⇔z＝；z为纯虚数⇔z＝－.4．复数相等的条件复数相等的充要条件为a＋bi＝c＋di⇔a＝c，b＝d(a，b，c，d∈R)．特别地，a＋bi＝0⇔a＝b＝0(a，b∈R)．5．复数的运算(1)加法和减法运算：(a＋bi)±(c＋di)＝(a±c)＋(b±d)i(a，b，c，d∈R)．(2)乘法和除法运算：复数的乘法按多项式相乘进行运算，即(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；复数除法是乘法的逆运算，其实质是分母实数化．复数的概念[例1]复数z＝log3(x2－3x－3)＋ilog2(x－3)，当x为何实数时，(1)z∈R？(2)z为虚数？(3)z为纯虚数？[解](1) 一个复数是实数的充要条件是虚部为0，∴由②得x＝4，经验证满足①式．∴当x＝4时，z∈R.(2) 一个复数是虚数的充要条件是虚部不等于0，∴解得即
4.∴当4时，z为虚数．(3) 一个复数是纯虚数的充要条件是其实部为0且虚部不为0，∴解得无解．∴复数z不可能是纯虚数．解决此类问题的关键是正确理解复数的分类与复数的实部和虚部之间的关系，另外要注意某些函数的定义域．1．若复数z＝＋(2－i)为纯虚数，求实数a.解： z＝＋(2－i)＝＋(2－i)＝＋(2－i)＝－i为纯虚数，∴＝0，即a＝－6.2．已知z＝(x>0)，且复数ω＝z(z＋i)的实部减去它的虚部所得的差等于－，求ω·.解：ω＝z(z＋i)＝＝·＝＋i.根据题意－＝－，得x2－1＝3. x>0，∴x＝2，∴ω＝＋3i.∴ω·＝＝.复数的四则运算[例2]计算：(1)；(2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i.[解](1)原式＝＝＝＝＝＝－1＋i.(2)原式＝(3＋11i)(3－4i)＋2i＝53＋21i＋2i＝53＋23i.复数加减乘除运算的实质是实数的加减乘除，加减法是对应实、虚部相加减，而乘法类比多项式乘法，除法类比分式的分子分母有理化，注意i2＝－1.3．计算＋.解：＋＝－＝＝－1.4．若复数z＝1－2i(i为虚数单位)，求z·＋z.解： z＝1－2i，∴＝1＋2i.∴z·＋z＝(1－2i)(1＋2i)＋(1－2i)＝5＋1－2i＝6－2i.复数问题实数化[例3]设存在复数z同时满足下列条件：(1)复数z在复平面内对应的点位于第二象限；(2)z·＋2iz＝8＋ai(a∈R)．试求a的取值范围．[解]设z＝x＋yi(x，y∈R)，则＝x－yi.由(1)，知x＜0，y＞0.又z·＋2iz＝8＋ai(a∈R)，故(x＋yi)(x－yi)＋2i(x＋yi)＝8＋ai，即(x2＋y2－2y)＋2xi＝8＋ai.∴消去x，整理，得4(y－1)2＝36－a2， y＞0，∴4(y－1)2≥0.∴36－a2≥0.∴－6≤a≤6.又2x＝a，而x＜0，∴a＜0.∴－6≤a＜0.∴a的取值范围为[－6,0)．复数问题实数化是解决复数问题的最基本也是最重要的思想方法，桥梁是设z＝x＋yi(x，y∈R)，依据是复数相等的充要条件．5．已知复数z＝(1－i)2＋1＋3i.(1)求|z|；(2)若z2＋az＋b＝，求实数a，b的值．解：z＝(1－i)2＋1＋3i＝－2i＋1＋3i＝1＋i.(1)|z|＝＝.(2)z2＋az＋b＝(1＋i)2＋a(1＋i)＋b＝2i＋a＋ai＋b＝a＋b＋(a＋2)i， ＝1－i，∴a＋b＋(a＋2)i＝1－i，∴∴a＝－3，b＝4.复数的几何意义[例4]已知z是复数，z＋2i，均为实数(i为虚数单位)，且复数(z＋ai)2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．[解]设z＝x＋yi(x，y∈R)，则z＋2i＝x＋(y＋2)i，＝＝(x＋yi)(2＋i)＝(2x－y)＋(2y＋x)i.由题意知∴∴z＝4－2i. (z＋ai)2＝[4＋(a－2)i]2＝(12＋4a－a2)＋8(a－2)i，由已知得∴2
