高中数学 第5章 三角函数 5.2.2 同角三角函数的基本关系讲义 新人教A版必修第一册-新人教A版高一第一册数学教案VIP专享VIP免费

5.2.2同角三角函数的基本关系学习目标核心素养1.理解并掌握同角三角函数基本关系式的推导及应用．(重点)2．会利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与恒等式证明．(难点)1.通过同角三角函数的基本关系进行运算，培养数学运算素养．2．借助数学式子的证明，培养逻辑推理素养.1．平方关系(1)公式：sin2α＋cos2α＝1.(2)语言叙述：同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1.2．商数关系(1)公式：＝tan_α(α≠kπ＋，k∈Z)．(2)语言叙述：同一个角α的正弦、余弦的商等于角α的正切．思考：对任意的角α，sin22α＋cos22α＝1是否成立？提示：成立．平方关系中强调的同一个角且是任意的，与角的表达形式无关．1．化简的结果是()A．cosB．sinC．－cosD．－sinC[因为是第二象限角，所以cos＜0，所以＝＝＝－cos.]2．如果α是第二象限的角，下列各式中成立的是()A．tanα＝－B．cosα＝－C．sinα＝－D．tanα＝B[由商数关系可知A，D均不正确．当α为第二象限角时，cosα＜0，sinα＞0，故B正确．]3．若cosα＝，且α为第四象限角，则tanα＝________.－[因为α为第四象限角，且cosα＝，所以sinα＝－＝－＝－，所以tanα＝＝－.]直接应用同角三角函数关系求值1【例1】(1)已知α∈，tanα＝2，则cosα＝________.(2)已知cosα＝－，求sinα，tanα的值．[思路点拨](1)根据tanα＝2和sin2α＋cos2α＝1列方程组求cosα.(2)先由已知条件判断角α是第几象限角，再分类讨论求sinα，tanα.(1)－[由已知得由①得sinα＝2cosα代入②得4cos2α＋cos2α＝1，所以cos2α＝，又α∈，所以cosα＜0，所以cosα＝－.](2)[解] cosα＝－＜0，∴α是第二或第三象限的角．如果α是第二象限角，那么sinα＝＝＝，tanα＝＝＝－.如果α是第三象限角，同理可得sinα＝－＝－，tanα＝.利用同角三角函数的基本关系解决给值求值问题的方法：1已知角α的某一种三角函数值，求角α的其余三角函数值，要注意公式的合理选择，一般是先选用平方关系，再用商数关系.2若角α所在的象限已经确定，求另两种三角函数值时，只有一组结果；若角α所在的象限不确定，应分类讨论，一般有两组结果.提醒：应用平方关系求三角函数值时，要注意有关角终边位置的判断，确定所求值的符号.1．已知sinα＋3cosα＝0，求sinα，cosα的值．[解] sinα＋3cosα＝0，∴sinα＝－3cosα.又sin2α＋cos2α＝1，∴(－3cosα)2＋cos2α＝1，即10cos2α＝1，∴cosα＝±.又由sinα＝－3cosα，可知sinα与cosα异号，∴角α的终边在第二或第四象限．当角α的终边在第二象限时，cosα＝－，sinα＝；当角α的终边在第四象限时，cosα＝，sinα＝－.灵活应用同角三角函数关系式求值【例2】(1)已知sinα＋cosα＝，α∈(0，π)，则tanα＝________.(2)已知＝2，计算下列各式的值．①；②sin2α－2sinαcosα＋1.2[思路点拨](1)法一：→→→法二：→→(2)→(1)－[法一：(构建方程组)因为sinα＋cosα＝，①所以sin2α＋cos2α＋2sinαcosα＝，即2sinαcosα＝－.因为α∈(0，π)，所以sinα＞0，cosα＜0.所以sinα－cosα＝＝＝.②由①②解得sinα＝，cosα＝－，所以tanα＝＝－.法二：(弦化切)同法一求出sinαcosα＝－，＝－，＝－，整理得60tan2α＋169tanα＋60＝0，解得tanα＝－或tanα＝－.由sinα＋cosα＝＞0知|sinα|＞|cosα|，故tanα＝－.](2)[解]由＝2，化简，得sinα＝3cosα，所以tanα＝3.①法一(换元)原式＝＝＝.法二(弦化切)原式＝＝＝.②原式＝＋1＝＋1＝＋1＝.1．将本例(1)条件“α∈(0，π)”改为“α∈(－π，0)”其他条件不变，结果又如何？[解]由例(1)求出2sinαcosα＝－，因为α∈(－π，0)，所以sinα＜0，cosα＞0，所以sinα－cosα＝－＝－＝－.与sinα＋cosα＝联立解得sinα＝－，cosα＝，所以tanα＝＝－.2．将本例(1)的条件“sinα＋cosα＝”改为“sinα·cosα＝－”其他条件不变，求cosα－sinα.[解]因为sinαcosα＝－＜0，所以α∈，所以cosα－sinα＜0，cosα－sinα＝－＝－＝－.1．sinα＋cosα，sinα－cosα，sinαcosα三个式子中，已知其中一个，可以求其他两个，即“知一...