高中数学 第5章 三角函数 5.1.2 弧度制讲义 新人教A版必修第一册-新人教A版高一第一册数学教案VIP专享VIP免费

5.1.2弧度制学习目标核心素养1.了解弧度制下，角的集合与实数集之间的一一对应关系．2．理解“弧度的角”的定义，掌握弧度与角度的换算、弧长公式和扇形面积公式，熟悉特殊角的弧度数．(重点、难点)3．了解“角度制”与“弧度制”的区别与联系．(易错点)1.通过对弧度制概念的学习，培养学生的数学抽象素养．2．借助弧度制与角度制的换算，提升学生的数学运算素养.1．度量角的两种单位制(1)角度制：①定义：用度作为单位来度量角的单位制．②1度的角：周角的.(2)弧度制：①定义：以弧度作为单位来度量角的单位制．②1弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角．2．弧度数的计算思考：比值与所取的圆的半径大小是否有关？提示：一定大小的圆心角α所对应的弧长与半径的比值是唯一确定的，与半径大小无关．3．角度制与弧度制的换算4．一些特殊角与弧度数的对应关系度0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°360°弧度0π2π15.扇形的弧长和面积公式设扇形的半径为R，弧长为l，α(0＜α＜2π)为其圆心角，则(1)弧长公式：l＝αR.(2)扇形面积公式：S＝lR＝αR2.1．下列转化结果错误的是()A．60°化成弧度是radB．－πrad化成度是－600°C．－150°化成弧度是－πradD.rad化成度是15°C[对于A,60°＝60×rad＝rad；对于B，－πrad＝－×180°＝－600°；对于C，－150°＝－150×rad＝－πrad；对于D，rad＝×180°＝15°.故选C.]2.是()A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角B[＝4π＋. π是第二象限角，∴是第二象限角．]3．(1)rad化为角度是________．(2)105°的弧度数是________．(1)252°(2)[(1)rad＝°＝252°；(2)105°＝105×rad＝rad.]4．半径为2，圆心角为的扇形的面积是________．[由已知得S扇＝××22＝.]角度与弧度的互化与应用【例1】(1)①将112°30′化为弧度为________．②将－rad化为角度为________．(2)已知α＝15°，β＝rad，γ＝1rad，θ＝105°，φ＝rad，试比较α，β，γ，θ，φ的大小．(1)①rad②－75°[(1)①因为1°＝rad，所以112°30′＝×112.5rad＝rad.②因为1rad＝°，所以－rad＝－°＝－75°.](2)法一(化为弧度)：α＝15°＝15×rad＝rad，θ＝105°＝105×rad＝rad.显然＜＜1＜.故α＜β＜γ＜θ＝φ.法二(化为角度)：β＝rad＝×°＝18°，γ＝1rad≈57.30°，φ＝×°＝105°.显然，15°＜18°＜57.30°＜105°.故α＜β＜γ＜θ＝φ.2角度制与弧度制互化的关键与方法1关键：抓住互化公式πrad＝180°是关键；2方法：度数×＝弧度数；弧度数×＝度数；3角度化弧度时，应先将分、秒化成度，再化成弧度.1．(1)将－157°30′化成弧度为________．(2)将－rad化为度是________．(1)－πrad(2)－396°[(1)－157°30′＝－157.5°＝－×rad＝－πrad.(2)－rad＝－×°＝－396°.]2．在[0,4π]中，与72°角终边相同的角有________．(用弧度表示)π，π[因为终边与72°角相同的角为θ＝72°＋k·360°(k∈Z)．当k＝0时，θ＝72°＝πrad；当k＝1时，θ＝432°＝πrad，所以在[0,4π]中与72°终边相同的角有π，π.]用弧度数表示角【例2】(1)终边经过点(a，a)(a≠0)的角α的集合是()A.B.C.D.(2)用弧度表示终边落在如图所示阴影部分内(不包括边界)的角θ的集合．[思路点拨](1)→(2)→(1)D[因为角α的终边经过点(a，a)(a≠0)，所以角α的终边落在直线y＝x上，所以角α的集合是.](2)[解]因为30°＝rad,210°＝rad，这两个角的终边所在的直线相同，因为终边在直线AB上的角为α＝kπ＋，k∈Z，而终边在y轴上的角为β＝kπ＋，k∈Z，从而终边落在阴影部分内的角的集合为.1．弧度制下与角α终边相同的角的表示：在弧度制下，与角α的终边相同的角可以表示为{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}，即与角α终3边相同的角可以表示成α加上2π的整数倍．2．根据已知图形写出区域角的集合的步骤：(1)仔细观察图形．(2)写出区域边界作为终边时角的表示．(3)用不等式表示区域范围内的角．提醒：角度制与弧度制不能混用.3．下列与的终边相同的角的表达式中，正确的是()A．2kπ＋45°(k∈Z)B．k·360°＋(k∈Z)C．k·360°－315°(k∈Z)D．kπ＋(k∈...