第1课时对数的概念学习目标核心素养1.理解对数的概念．(重点)2.能熟练地进行指数式与对数式的互化．(重点)3.掌握常用对数与自然对数的定义.通过学习本节内容，培养学生的逻辑推理和数学运算的数学核心素养.1．对数一般地，如果a(a>0，a≠1)的b次幂等于N，即ab＝N，那么就称b是以a为底N的对数，记作logaN＝b，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．2．常用对数通常将以10为底的对数称为常用对数，为了方便起见，对数log10N，简记为lg_N.3．自然对数以e为底的对数称为自然对数．其中e＝2.71828…是一个无理数，正数N的自然对数logeN，一般简记为ln_N.4．几个特殊对数值(1)loga1＝0，logaa＝1，loga＝－1.(其中a＞0且a≠1)．(2)对数恒等式：a＝N(a>0，a≠1，N>0)．(3)零和负数没有对数．1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)因为(－2)4＝16，所以log(－2)16＝4.()(2)对数式log32与log23的意义一样．()(3)对数的运算实质是求幂指数．()(4)等式loga1＝0对于任意实数a恒成立．()(5)lg10＝lne＝1.()[答案](1)×(2)×(3)√(4)×(5)√[提示](1)－2不能作底数；(2)log23与log32底数和真数均不同，意义不一样；(4)a>0且a≠1.2．计算：log39＝________，2＝________.23[log39＝2,2＝3.]3．(1)将log232＝5化成指数式，将3－3＝化成对数式；(2)已知log4x＝－，求x；(3)已知log2(log3x)＝1，求x；(4)求log(3＋2)．[解](1)25＝32，log3＝－3.(2) log4x＝－，∴x＝4－＝2－3＝.(3) log2(log3x)＝1，∴log3x＝21＝2，∴x＝32＝9.(4)设y＝log(3＋2)，则(－1)y＝3＋2＝(＋1)2＝(－1)－2，则y＝－2，即log(3＋2)＝－2.1对数的概念【例1】使对数log2a－2(10－4a)有意义的a的取值范围是________．思路点拨：根据对数中底数和真数的取值范围求解．∪[要使log2a－2(10－4a)有意义，则⇒1
且a≠1.(2)令⇒x<2且x≠0.]指数式与对数式的互化【例2】(1)将下列各指数式改写成对数式：①24＝16；②3－3＝；③5a＝20；④＝0.45.(2)将下列各对数式改写成指数式：①log16＝－4；②log2128＝7；③lg0.01＝－2；④ln10＝2.303.思路点拨：利用ax＝N⇔x＝logaN(a>0且a≠1)进行互化．[解](1)①24＝16⇒log216＝4.②3－3＝⇒log3＝－3.③5a＝20⇒log520＝a.④＝0.45⇒log0.45＝b.(2)①＝16.②27＝128.③10－2＝0.01.④e2.303＝10.1．并非所有指数式都可以直接化为对数式，如(－3)2＝9就不能直接写成log(－3)9＝2，只有a>0，a≠1，N>0时，才有ax＝N⇔x＝logaN.2．对数式logaN＝b是由指数式ab＝N变化得来的，两式底数相同，对数式中的真数N就是指数式中的幂的值，而对数值b是指数式中的幂指数，对数式与指数式的关系如图：22．下列指数式与对数式的互化正确的序号是________．①N＝a2与logNa＝2；②log4＝4与()4＝4；③＝64与log64＝－；④logx＝z与xz＝y.②④[①N＝a2⇔logaN＝2(a>0且a≠1)；③＝64⇔log64＝－3.]3．设a＝log37，b＝log328，则32a－b＝________.[由题知3a＝7,3b＝28，∴32a－b＝＝＝＝.]解指数、对数方程[探究问题]1．方程x＝42，x＝33的解是什么？如何解x＝ab型的方程．[提示]x＝42＝16，x＝33＝27，解x＝ab时按幂的运算法则计算即可．2．方程x2＝4(x>0)，x3＝64的解是什么？如何解xk＝b(k∈Z)．[提示]x2＝4，∴x＝＝2，x3＝64，∴x＝＝4，xk＝b，∴x＝即可通过开方运算求解．3．方程2x＝8的解是什么？2x＝7呢？如何解ax＝b(a>0，a≠1)．[提示] 23＝8，∴2x＝8的解为x＝3，2x＝7，∴x＝log27，ax＝b，x＝logab即将指数式化为对数式，将问题转化为计算对数值．【例3】解方程：(1)9x＝27；(2)ex＝e2；(3)5＝25；(4)log2(log3(log4x))＝0；(5)logx16＝－4；(6)x＝－lne－3.思路点拨：利用对数的性质及指数式与对数式的互化来求解．[解](1)9x＝27，∴(32)x＝33，即32x＝33，∴2x＝3，∴x＝.(2) ex＝e2，∴x＝2.(3)5＝2x－1＝25，∴x＝13.(4) log2(log3(log4x))＝0，∴log3(log4x)＝2...
