高中数学 第3章 指数函数、对数函数和幂函数 3.2.1 对数（第2课时）对数的运算性质讲义 苏教版必修1-苏教版高一必修1数学教案VIP免费

第2课时对数的运算性质学习目标核心素养1.掌握对数的运算性质，并能运用运算性质进行对数的有关运算．(重点)2.了解换底公式.3.能用换底公式将一般对数化成自然对数或常用对数解题．(难点)通过学习本节内容，提升学生的数学运算和数学建模的数学核心素养.1．符号表示如果a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则(1)loga(MN)＝logaM＋logaN；(2)logaMn＝nlogaM(n∈R)；(3)loga＝logaM－logaN.2．文字表述(1)两正数的积的对数等于这两个正数的对数的和；(2)两正数的商的对数等于被除数的对数减去除数的对数；(3)一个正数的n次幂的对数等于n倍的该数的对数．3．换底公式一般地，我们有logaN＝，(其中a>0，a≠1，N>0，c>0，c≠1)，这个公式称为对数的换底公式．4．与换底公式有关的几个结论(1)logab·logba＝1(a，b>0且a，b≠1)；(2)logbn＝logab(a，b>0且a，b≠1，m≠0)．1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)积、商的对数可以直接化为对数的和、差．()(2)logax·logay＝loga(x＋y)．()(3)loga(－2)4＝4loga(－2)．()[答案](1)×(2)×(3)×[提示]根据对数的运算性质，只有正数积、商的对数才可以直接化为对数的和、差，(1)错误，(2)错误，(3)中－2不能作真数．2．(1)log225－log2＝________；(2)log28＝________.(1)2(2)3[(1)log225－log2＝log225×＝log24＝log222＝2log22＝2.(2)log28＝log223＝3log22＝3.]3．若lg5＝a，lg7＝b，用a，b表示log75＝________.[log75＝＝.]1对数运算性质的应用【例1】计算下列各式的值：(1)lg2＋lg5；(2)log535＋2log－log5－log514；(3)[(1－log63)2＋log62·log618]÷log64.思路点拨：根据对数的运算性质，先将式子转化为只含有一种或几种真数的形式再进行计算．[解](1)lg2＋lg5＝lg(2×5)＝lg10＝1.(2)原式＝log5＋2log2＝log553－1＝2.(3)原式＝[(log66－log63)2＋log62·log6(2·32)]÷log64＝÷log622＝[(log62)2＋(log62)2＋2log62·log63]÷2log62＝log62＋log63＝log6(2·3)＝1.1．对于同底的对数的化简要用的方法(1)“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；(2)“拆”，将积(商)的对数拆成两对数的和(差)．2．注意对数的性质的应用，如loga1＝0，logaa＝1，alogaN＝N.3．化简的式子中有多重对数符号时，应自内向外逐层化简求值．1．计算下列各式的值：(1)lg－lg＋lg；(2)lg25＋lg8＋lg5×lg20＋(lg2)2；(3)2log32－log3＋log38－5.[解](1)法一：原式＝(5lg2－2lg7)－×lg2＋(2lg7＋lg5)＝lg2－lg7－2lg2＋lg7＋lg5＝lg2＋lg5＝(lg2＋lg5)＝lg10＝.法二：原式＝lg－lg4＋lg7＝lg＝lg(·)＝lg＝.(2)原式＝2lg5＋2lg2＋lg5(2lg2＋lg5)＋(lg2)2＝2lg10＋(lg5＋lg2)2＝2＋(lg10)2＝2＋1＝3.(3)原式＝2log32－(log332－log39)＋3log32－3＝2log32－5log32＋2＋3log32－3＝－1.【例2】化简：(1)log2(28×82)；(2)用lg2和lg3表示lg24；(3)用logax，logay，logaz表示loga(xy2z)．思路点拨：将需表示式子中的真数用已知的式子中的真数表示出来．[解](1)log2(28×82)＝log2[28×(23)2]＝log2(28＋3×2)＝log2214＝14.(2)lg24＝lg(3×8)＝lg3＋lg8＝lg3＋3lg2.(3)loga(xy2z)＝logax＋logay2＋logaz＝logax＋2logay－logaz.2这类问题一般有两种处理方法一种是将式中真数的积、商、方根运用对数的运算法则将它们化为对数的和、差、积、商，然后化简求值；另一种方法是将式中的对数的和、差、积、商运用对数的运算法则将它们化为真数的积、商、幂、方根，然后化简求值．要特别注意loga(MN)≠logaM·logaN，loga(M±N)≠logaM±logaN.2．化简：(1)log(45×82)；(2)log27－log9；(3)用lgx，lgy，lgz表示lg.[解](1)log(45×82)＝log(210×26)＝log216＝16log2＝16×2＝32.(2)log27－log9＝log＝log3＝－1.(3)lg＝lgx2＋lg－lg＝2lgx＋lgy－lgz.换底公式及其应用【例3】(1)已知3a＝5b＝c，且＋＝2，则c的值为________．(2)已知x，y，z为正数，3x＝4y＝6z,2x＝py.①求p；②证明：－＝.思路点拨：用换底公式统一底数再求解．(1)[由3a＝5b＝c，得a＝log3c，b＝log5c，所以＝logc3，＝logc5.又＋＝2，所以logc3＋logc5＝2，即logc15＝2，c＝.](2)[解]①设3x...