高中数学 第3章 不等式章末复习课教案 北师大版必修5-北师大版高二必修5数学教案VIP专享VIP免费

第3章不等式三个二次间的关系【例1】设关于x的一元二次方程ax2＋x＋1＝0(a>0)有两个实根x1，x2，求证：x1<－1且x2<－1.[证明]令f(x)＝ax2＋x＋1(a>0)，由Δ＝1－4a≥0，得0<2a≤，∴－≤－2<－1，∴抛物线f(x)的对称轴x＝－在直线x＝－1的左侧，∴函数f(x)的图像与x轴交点中左侧的一个在直线x＝－1的左侧．又f(－1)＝a－1＋1＝a>0，∴交点中右侧的那个也在直线x＝－1的左侧．而函数f(x)与x轴交点的横坐标分别为方程ax2＋x＋1＝0的两根x1，x2，∴x1<－1且x2<－1.对于一元二次不等式的求解，要善于联想两个方面的问题：①相应的二次函数图像及与x轴的交点，②相应的一元二次方程的实根；反之，对于二次函数(二次方程)的问题的求解，也要善于联想相应的一元二次不等式的解与相应的一元二次方程的实根(相应的二次函数的图像及与x轴的交点)．1．若关于x的不等式ax2－6x＋a2<0的解集是(1，m)，则m＝________.2[因为ax2－6x2＋a2<0的解集是(1，m)，所以1，m是方程ax2－6x＋a2＝0的根，且m>1⇒⇒]1不等式的恒成立问题【例2】已知不等式mx2－mx－1<0.(1)若x∈R时不等式恒成立，求实数m的取值范围；(2)若x∈[1,3]时不等式恒成立，求实数m的取值范围；(3)若满足|m|≤2的一切m的值能使不等式恒成立，求实数x的取值范围．[解](1)①若m＝0，原不等式可化为－1<0，显然恒成立；②若m≠0，则不等式mx2－mx－1<0恒成立⇔解得－40时，若对于x∈[1,3]不等式恒成立，只需即可，∴解得m<，∴0g(x)恒成立，则f(a)>g(x)max.(3)数形结合法：利用不等式与函数的关系将恒成立问题通过函数图像直观化．2．(1)已知f(x)＝不等式f(x＋a)>f(2a－x)在[a，a＋1]上恒成立，则实数a的取值范围是()A．(－∞，－2)B．(－∞，0)C．(0,2)D．(－2,0)A[因为f(x)为R上的减函数，故f(x＋a)>f(2a－x)⇔x＋a<2a－x，从而2x