第2课时两角和与差的正切公式学习目标核心素养1.能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式．(重点)2.能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值和证明．(重点)3.熟练两角和与差的正切公式的常见变形，并能灵活应用．(难点)1.借助两角和与差的正切公式的推导过程，培养学生数学建模和逻辑推理的核心素养.2.通过利用两角和与差的正切公式进行化简、求值，提升学生的数学运算、数据分析和逻辑推理的核心素养.两角和与差的正切公式名称简记符号公式使用条件两角和的正切公式T(α＋β)tan(α＋β)＝α，β，α＋β≠kπ＋(k∈Z)且tanα·tanβ≠1两角差的正切公式T(α－β)tan(α－β)＝α，β，α－β≠kπ＋(k∈Z)且tanα·tanβ≠－1思考：两角和与差的正切公式对任意角α，β均成立吗？[提示]不是对任意角α，β均成立，必须使正切有意义，两角和的正切公式使用条件为α，β，α＋β≠kπ＋(k∈Z)，两角差的正切公式使用条件为α，β，α－β≠kπ＋(k∈Z)．1．已知tanα＝4，tanβ＝3，则tan(α＋β)＝()A．B．－C.D．－B[tan(α＋β)＝＝＝－.]2．已知A＋B＝45°，则(1＋tanA)(1＋tanB)的值为()A．1B．2C．－2D．不确定B[ A＋B＝45°，∴(1＋tanA)(1＋tanB)＝1＋tanA＋tanB＋tanAtanB＝1＋tan(A＋B)(1－tanAtanB)＋tanAtanB＝1＋tan45°(1－tanAtanB)＋tanAtanB＝2.]3．已知tanα＝2，则tan＝．－3[tan＝＝＝－3.]4.＝．[原式＝tan(75°－15°)＝tan60°＝.]两角和与差的正切公式的应用【例1】(1)已知tanα＝，tan(α－β)＝－，则tan(β－2α)＝()1A．－B．－C．－D．(2)如图，在△ABC中，AD⊥BC，D为垂足，AD在△ABC的外部，且BD∶CD∶AD＝2∶3∶6，则tan∠BAC＝．思路点拨：(1)构造角2α－β＝α＋(α－β)．(2)先求∠CAD，∠BAD的正切值，再依据tan∠BAC＝tan(∠CAD－∠BAD)求值．(1)B(2)[(1)由已知可知tan(－α)＝－，又β－2α＝(－α)－(α－β)，所以tan(β－2α)＝tan[(－α)－(α－β)]＝＝＝－.(2) AD⊥BC且BD∶CD∶AD＝2∶3∶6，∴tan∠BAD＝＝，tan∠CAD＝＝，tan∠BAC＝tan(∠CAD－∠BAD)＝＝＝.]1．公式T(α±β)的结构特征和符号规律：(1)结构特征：公式T(α±β)的右侧为分式形式，其中分子为tanα与tanβ的和或差，分母为1与tanαtanβ的差或和．(2)符号规律：分子同，分母反．2．利用公式T(α＋β)求角的步骤：(1)计算待求角的正切值．(2)缩小待求角的范围，特别注意隐含的信息．(3)根据角的范围及三角函数值确定角．1．(1)(2018·全国卷Ⅱ)已知tan(α－)＝，则tanα＝．(2)已知角α，β均为锐角，且cosα＝，tan(α－β)＝－，则tanβ＝．(1)(2)3[(1)因为tan(α－)＝，所以tanα＝tan[(α－)＋]＝＝＝.(2)因为cosα＝，α为锐角，所以sinα＝，tanα＝，所以tanβ＝tan[α－(α－β)]＝＝＝3.]两角和与差的正切公式的逆用【例2】(1)＝．(2)＝．2思路点拨：注意特殊角的正切值和公式T(α±β)的结构，适当变形后逆用公式求值．(1)(2)－1[(1)原式＝＝tan(45°＋15°)＝tan60°＝.(2)原式＝＝＝tan(30°－75°)＝－tan45°＝－1.]公式T(α±β)的逆用一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换．如tan＝1，tan＝，tan＝等．要特别注意tan＝，tan＝.2．求值：(1)；(2)tan23°＋tan37°＋tan23°tan37°.[解](1)原式＝tan(74°＋76°)＝tan150°＝－.(2) tan60°＝＝，∴tan23°＋tan37°＝－tan23°tan37°，∴tan23°＋tan37°＋tan23°tan37°＝.两角和与差的正切公式的变形运用[探究问题]1．两角和与差的正切公式揭示了tanαtanβ与哪些式子的关系？提示：揭示了tanαtanβ与tanα＋tanβ，tanαtanβ与tanα－tanβ之间的关系．2．若tanα，tanβ是关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，b2－4ac≥0)的两个根，则如何用a，b，c表示tan(α＋β)?提示：tan(α＋β)＝＝＝－.【例3】(1)tan67°－tan22°－tan67°tan22°＝．(2)已知△ABC中，tanB＋tanC＋tanBtanC＝，且tanA＋tanB＝tanAtanB－1，试判断△ABC的形状．思路点拨：(1)看到tan67°－tan22°与tan67°tan22°想到将tan(67°－22°)展开变形，寻找解题思路．(2)先由关于角A，B的...
